Question

19．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），M、N分别是AB、BC的中点．
（1）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（2）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象与△MNB（包括边界）有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据顶点B的坐标为（4，2），M、N分别是AB、BC的中点．得到M点的坐标为（2，2），把M（2，2）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）可求出m，确定反比例函数的解析式；再根据B点坐标为（4，2），N点坐标为（4，1），易得N（4，1）满足反比例函数解析式，即可判断点N在该函数的图象上；
（2）由反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象与△BMN的边始终有公共点，而M、N都在y=$\frac{4}{x}$上，则此时m最小，反比例函数过B点时，m最大，此时m=4×2=8，由此得到m的取值范围．

解答 解：（1）∵顶点B的坐标为（4，2），M、N分别是AB、BC的中点，
∴M点的坐标为（2，2），
把M（2，2）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）得，m=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$；
∵M、N分别为矩形OABC的边AB、BC的中点，且M（2，2），B点坐标为（4，2），
∴N点坐标为（4，1），
∵4×1=4，
∴点N在函数y=$\frac{4}{x}$的图象上；
（2）4≤m≤8．

点评 本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；运用矩形的性质和中点的定义求点的坐标．