Question

【题目】当a、b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P为完美点．

（1）判断点A（2，3）是否为完美点？

（2）完美点一定不在第　 　象限；

（3）已知关于m、n的方程组，当t为何值时，以方程组的解为坐标的点B是完美点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A（2，3）不是完美点；（2）二；（3）当t＝时，以方程组的解为坐标的点B是完美点．．

【解析】

（1）把（2，3）代入求出a和b的值，检验是否满足2a﹣6＝b即可判断；

（2）根据2a﹣b＝6得到b＝2a﹣6，代入完美点坐标得到（a﹣1，a﹣2），对其横纵坐标的正负进行讨论即可；

（3）解方程组，用t表示m和n的值，再代入完美点用t表示出a和b的值，最后依据2a﹣b＝6，构造关于t的方程，解出t的值．

解：（1）解a﹣1＝2，+1＝3，得到a＝3，b＝4．

则2a﹣b＝2≠6，所以点A（2，3）不是完美点；

（2）由2a﹣b＝6，可得b＝2a﹣6，代入P中得完美点坐标为（a﹣1，a﹣2）．

若a﹣1是正数，则a﹣2可能是正数也可能是负数，即在第一或四象限；

若a﹣1是负数，则a＜1，所以a﹣2必然是负数，在第三象限，

故完美点一定不在第二象限；

（3）解方程组，得到，

∴点B坐标为（2+t，2﹣t）．

∵点B是完美点，

则a﹣1＝2+t，+1＝2﹣t，

解得a＝3+t，b＝2﹣2t．

代入2a﹣b＝6中，得2（3+t）﹣（2﹣2t）＝6，解得t＝．

所以当t＝时，以方程组的解为坐标的点B是完美点．