Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点p的坐标为（m，0）且m＞0，一开口向上的抛物线以P为顶点，且经过点A．
（1）求该抛物线的解析式；（m作为常数）
（2）在第一象限内，过点A作AB⊥AP，且∠APB=∠APO，过点B作BC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，问BC的长是否随m的变化而变化？若变化，请用含m的代数式表示线段BC的长度；若不变，请求出线段BC的长度；
（3）在（2）的条件下，当m为何值时，抛物线正好经过线段BC的中点D？

Answer 1

分析 （1）根据题中的顶点坐标，设该抛物线的解析式为顶点式解析式y=a（x-m）²，然后由待定系数法求二次函数的解析式；
（2）作AE∥x轴交PB于E，交BC于F，如图，证明EA=EB，EA=EP，从而得到EB=EP，则BF=CF，于是得到BC=2BF=4；
（3）点D点为BC的中点，即D点与F点重合，利用二次函数图象上点的坐标特征表示出D（2m，0），则B（2m，4），再证明Rt△AOP∽Rt△BAP，利用相似比得到PB=m+$\frac{4}{m}$，然后利用两点间的距离公式得到（m+$\frac{4}{m}$）²=（2m-m）²+4²，然后解方程求出m即可．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为P（m，0），
∴设该抛物线的方程为：y=a（x-m）²；
又∵图象经过点A（0，2），
∴2=a（-m）²，解得a=$\frac{2}{{m}^{2}}$；
∴该函数的解析式为：y=$\frac{2}{{m}^{2}}$（x-m）²；
（2）BC的长不变．
作AE∥x轴交PB于E，交BC于F，如图，
∵AB⊥AP，
∴∠BAP=90°，
∵AE∥OP，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴EA=EP，
∵∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠5，
∴EA=EB，
∴EB=EP，
∵EF∥PC，
∴$\frac{BE}{EP}$=$\frac{BF}{FC}$=1，即BF=CF，
易得四边形AOCF为矩形，
∴CF=OA=2，
∴BC=2BF=4；
（3）点D点为BC的中点，即D点与F点重合，
∴D点的纵坐标为2，
当y=2时，$\frac{2}{{m}^{2}}$（x-m）²=2，解得x=0（舍去）或x=2m，则D（2m，0），
∴B（2m，4），
∵∠1=∠2，
∴Rt△AOP∽Rt△BAP，
∴AP：PB=OP：AP，
∴PB=$\frac{{m}^{2}+4}{m}$=m+$\frac{4}{m}$，
∴（m+$\frac{4}{m}$）²=（2m-m）²+4²，
∴m²=2，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用相似比计算线段的长．