Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，BE⊥CD于E，连接AC，BC．

（1）求证：BC平分∠ABE；

（2）若⊙O的半径为3，cosA＝，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）根据切线的性质得OC⊥DE，则可判断OC∥BE，根据平行线的性质得∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE；

（2）由已知数据可求出AC，BC的长，易证△BEC∽△BCA，由相似三角形的性质即可求出CE的长．

（1）证明：∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥DE，

而BE⊥DE，

∴OC∥BE，

∴∠OCB＝∠CBE，

而OB＝OC，

∴∠OCB＝∠CBO，

∴∠OBC＝∠CBE，

即BC平分∠ABE；

（2）∵⊙O的半径为3，

∴AB＝6，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵cosA＝，

∴＝，

∴AC＝2，

∴BC＝＝2，

∵∠ABC＝∠ECB，∠ACB＝∠BEC＝90°，

∴△BEC∽△BCA，

∴＝，

即＝，

∴CE＝．