Question

【题目】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线 y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点．

（1）求出点A、点B的坐标；
（2）若在线段AB上方的抛物线有一动点P，过点P作直线l⊥x轴交AB于点Q，设点P的横坐标为t（0＜t＜8），求△ABP的面积S与t的函数关系式，并求出△ABP的最大面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使S△APB= S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当x=0时，y=4，

∴B（0，4），

当y=0时，﹣ x2+ x+4=0，

解得：x=8或﹣1，

∴A（8，0）

（2）

解：设AB的解析式为：y=kx+b，

把A（8，0），B（0，4）代入得： ，

解得： ，

∴AB的解析式为：y=﹣ x+4，

∴Q（t，﹣ t+4），P（t，﹣ t2+ t+4），

∴PQ=（﹣ t2+ t+4）﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

∴S= PQOA= （﹣ t2+4t）×8=﹣2t2+16t=﹣2（t﹣4）2+32，

∵0＜t＜8，

∴当t=4时，S有最大值为32，

即△ABP的最大面积为32

（3）

解：存在，

∵OA是BC的垂直平分线，

∴OB=OC=4，

∵OA=8，

∴S△ABC= BCOA= ×8×8=32，

∵S△APB= S△ABC，

∴﹣2t2+16t= ，

t2﹣8t=﹣12，

t2﹣8t+12=0，

（t﹣2）（t﹣6）=0，

解得：t=2或6，

当t=2时，y=﹣ ×22+ ×2+4=9，

当t=6时，y=﹣ ×62+ ×6+4=7，

∴点P的坐标为（2，9）或（6，7）

【解析】（1）分别将x=0和y=0代入可求得点A与B的坐标；（2）先求直线AB的解析式，表示点P和Q的坐标及PQ的长，根据△ABP的面积=铅直高度PQ×水平宽度OA，代入计算可求得S与t的函数关系式，配方可求其最大面积；（3）根据（2）中求得的解析式代入S△APB= S△ABC ， 求出x的值，代入抛物线中求得对应的y值，则得出点P的坐标．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．