【题目】如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线 y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点.
(1)求出点A、点B的坐标;
(2)若在线段AB上方的抛物线有一动点P,过点P作直线l⊥x轴交AB于点Q,设点P的横坐标为t(0<t<8),求△ABP的面积S与t的函数关系式,并求出△ABP的最大面积;
(3)在(2)的条件下,是否存在一点P,使S△APB= S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:当x=0时,y=4,
∴B(0,4),
当y=0时,﹣ x2+ x+4=0,
解得:x=8或﹣1,
∴A(8,0)
(2)
解:设AB的解析式为:y=kx+b,
把A(8,0),B(0,4)代入得: ,
解得: ,
∴AB的解析式为:y=﹣ x+4,
∴Q(t,﹣ t+4),P(t,﹣ t2+ t+4),
∴PQ=(﹣ t2+ t+4)﹣(﹣ t+4)=﹣ t2+4t,
∴S= PQOA= (﹣ t2+4t)×8=﹣2t2+16t=﹣2(t﹣4)2+32,
∵0<t<8,
∴当t=4时,S有最大值为32,
即△ABP的最大面积为32
(3)
解:存在,
∵OA是BC的垂直平分线,
∴OB=OC=4,
∵OA=8,
∴S△ABC= BCOA= ×8×8=32,
∵S△APB= S△ABC,
∴﹣2t2+16t= ,
t2﹣8t=﹣12,
t2﹣8t+12=0,
(t﹣2)(t﹣6)=0,
解得:t=2或6,
当t=2时,y=﹣ ×22+ ×2+4=9,
当t=6时,y=﹣ ×62+ ×6+4=7,
∴点P的坐标为(2,9)或(6,7)
【解析】(1)分别将x=0和y=0代入可求得点A与B的坐标;(2)先求直线AB的解析式,表示点P和Q的坐标及PQ的长,根据△ABP的面积=铅直高度PQ×水平宽度OA,代入计算可求得S与t的函数关系式,配方可求其最大面积;(3)根据(2)中求得的解析式代入S△APB= S△ABC , 求出x的值,代入抛物线中求得对应的y值,则得出点P的坐标.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy.△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标是(4,4 ),请解答下列问题:
(1)将△ABC向下平移5个单位长度,画出平移后的A1B1C1 , 并写出点A的对应点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的△A3B3C.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】图形变换中的数学,问题情境:在课堂上,兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D是AB的中点,连接CD.
(1)探索发现:
如图①,BC与BD的数量关系是;
(2)猜想验证:
如图②,若P是线段CB上一动点(点P不与点B,C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想BF,BP,BD三者之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)拓展延伸:
若点P是线段CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图③中补全图象,并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系.
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【题目】在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字1,2,3,4的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同,小明先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为x,放回盒子摇匀后,再由小华随机取出一个小球,记下数字为y.
(1)用列表法或画树形图表示出(x,y)的所有可能出现的结果;
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在二次函数y=x2的图象上的概率.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,对称轴是直线x=1,①b2>4ac;②4a﹣2b+c<0;③不等式ax2+bx+c>0的解集是x>3;④2a+b=0.其中判断正确的是 . (只填写正确结论的序号)
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【题目】某地欲搭建一桥,桥的底部两端间的距离AB=L,称跨度,桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高,当L和h确定时,有两种设计方案可供选择:①抛物线型,②圆弧型.已知这座桥的跨度L=32米,拱高h=8米.
(1)如果设计成抛物线型,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立坐标系,求桥拱的函数解析式;
(2)如果设计成圆弧型,求该圆弧所在圆的半径;
(3)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑,在两种方案中分别求桥墩的高度.
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【题目】在一个不透明的纸箱里装有3个标号为1,2,﹣3的小球,它们的材质、形状、大小完全相同,小红从纸箱里随机取出一个小球,记下数字为x,小刚从剩下的2个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)请你运用画树状图或列表的方法,写出点P所有可能的坐标;
(2)求点(x,y)在函数y=﹣ 图象上的概率.
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【题目】如图所示,底边BC为2 ,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,则△ACE的周长为( )
A.2+2
B.2+
C.4
D.3
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