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【题目】如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线 y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点.

(1)求出点A、点B的坐标;
(2)若在线段AB上方的抛物线有一动点P,过点P作直线l⊥x轴交AB于点Q,设点P的横坐标为t(0<t<8),求△ABP的面积S与t的函数关系式,并求出△ABP的最大面积;
(3)在(2)的条件下,是否存在一点P,使SAPB= SABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:当x=0时,y=4,

∴B(0,4),

当y=0时,﹣ x2+ x+4=0,

解得:x=8或﹣1,

∴A(8,0)


(2)

解:设AB的解析式为:y=kx+b,

把A(8,0),B(0,4)代入得:

解得:

∴AB的解析式为:y=﹣ x+4,

∴Q(t,﹣ t+4),P(t,﹣ t2+ t+4),

∴PQ=(﹣ t2+ t+4)﹣(﹣ t+4)=﹣ t2+4t,

∴S= PQOA= (﹣ t2+4t)×8=﹣2t2+16t=﹣2(t﹣4)2+32,

∵0<t<8,

∴当t=4时,S有最大值为32,

即△ABP的最大面积为32


(3)

解:存在,

∵OA是BC的垂直平分线,

∴OB=OC=4,

∵OA=8,

∴SABC= BCOA= ×8×8=32,

∵SAPB= SABC

∴﹣2t2+16t=

t2﹣8t=﹣12,

t2﹣8t+12=0,

(t﹣2)(t﹣6)=0,

解得:t=2或6,

当t=2时,y=﹣ ×22+ ×2+4=9,

当t=6时,y=﹣ ×62+ ×6+4=7,

∴点P的坐标为(2,9)或(6,7)


【解析】(1)分别将x=0和y=0代入可求得点A与B的坐标;(2)先求直线AB的解析式,表示点P和Q的坐标及PQ的长,根据△ABP的面积=铅直高度PQ×水平宽度OA,代入计算可求得S与t的函数关系式,配方可求其最大面积;(3)根据(2)中求得的解析式代入SAPB= SABC , 求出x的值,代入抛物线中求得对应的y值,则得出点P的坐标.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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(1)探索发现:
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(2)猜想验证:
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(3)拓展延伸:
若点P是线段CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图③中补全图象,并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系.

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(2)如果设计成圆弧型,求该圆弧所在圆的半径;
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