Question

2．已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先计算△，化简得到△=（2k-3）²，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根x₁=2k-1，x₂=2，则可设b=2k-1，c=2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．

解答 （1）证明：△=（2k+1）²-4×1×4（k-$\frac{1}{2}$）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵无论k取什么实数值，（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）解：∵x=$\frac{2k+1±（2k-3）}{2}$，
∴x₁=2k-1，x₂=2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k-1，c=2，面积=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{15}$=$\sqrt{15}$；
当b、c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，故此种情况不存在．
综上所述，△ABC的面积为$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．