Question

5．在?ABCD中，∠A=∠DBC，过点D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，连接EF、EC，M、N、P分别为EF、EC、BC的中点，连接NP．请你发现∠ABD与∠MNP满足的等量关系，并证明．

Answer 1

分析 首先连接BE、CF，延长CE交BD于点G，根据三角形的中位线定理，判断出∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCEM，∠ENP=∠BEG；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BDE≌△∠CDF，即可判断出∠DBE=∠DCF；最后根据三角形的外角的性质，以及三角形的内角和定理，判断出∠ABD+∠MNP=180°即可．

解答 解：∠ABD+∠MNP=180°，
理由：如图，连接BE、CF，延长CE交BD于点G，
∵点N、M分别为EC、EF的中点，
∴MN是△CEF的中位线，
∴MN∥CF，
∴∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCE，
∵点N、P分别为EC、BC的中点，
∴PN是△CBE的中位线，
∴PN∥BE，
∴∠ENP=∠BEG，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
又∵∠EDF=∠ABD，
∴∠BDC=∠EDF，
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠BDE=∠CDF，
∵∠A=∠DBC，∠ADB=∠DBC，
∴∠A=∠ADB，
∴AB=BD，
又∵AB=CD，
∴BD=CD，
在△BDE和△∠CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△∠CDF，
∴∠DBE=∠DCF，
根据三角形的外角的性质，可得
∠BGE=∠BDC+∠DCE，
在△BGE中，
∠BEG+∠BGE+∠GBE=180°，
∴∠ENP+（∠BDC+∠DCE）+∠DCF=180°，
∴（∠ENP+∠DCF+∠DCE）+∠BDC=180°，
又∵∠ENP+∠DCF+∠DCE=∠MNP，∠BDC=∠ABD，
∴∠ABD+∠MNP=180°．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．