Question

【题目】如图，在梯形中，，，，，，点在边上，，点是射线上一个动点（不与点、重合），联结交射线于点，设，.

（1）求的长；

（2）当动点在线段上时，试求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当动点运动时，直线与直线的夹角等于，请直接写出这时线段的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）线段的长为或13

【解析】

（1）如图1中，作AH⊥BC于H，解直角三角形求出EH，CH即可解决问题．
（2）延长AD交BM的延长线于G．利用平行线分线段成比例定理构建关系式即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3-1中，当点M在线段DC上时，∠BNE=∠ABC=45°．②如图3-2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB=∠ABE=45°，利用相似三角形的性质即可解决问题．

：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠C=90°，

∴∠AHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD=CH=2，AH=CD=3，
∵tan∠AEC=3，
∴=3，
∴EH=1，CE=1+2=3，
∴BE=BC-CE=5-3=2．

（2）延长，交于点，

∵AG∥BC，

∴，

∴，

∵，

∴.

解得：

（3）①如图3-1中，当点M在线段DC上时，∠BNE=∠ABC=45°，

∵，

，

则有，解得：

②如图3-2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB=∠ABE=45°，

∵，

∴，

则有，

解得

综上所述：线段的长为或13.