Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点且∠ABC＝∠DBC，过C作CE⊥BD交BD的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线．

（2）若F是OB的中点，FG⊥OB交CE于点G，FG＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径＝4

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，推出OC∥BE，得到OC⊥CE，根据切线的判定定理得到CE是⊙O的切线；

（2）延长EC，BA相交于R，根据余角的性质得到∠ACR＝∠ABC，根据相似三角形的性质得到，设AR＝3x，RC＝4x，设⊙O的半径为2a，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．

解：（1）连接OC，∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵∠ABC＝∠DBC，

∴OC∥BE，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）延长EC，BA相交于R，

∵∠ACR+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACR＝∠ABC，

∴△ACR∽△CBR，

∴，

设AR＝3x，RC＝4x，

设⊙O的半径为2a，

4a2+16x2＝（3x+2a）2，x＝a，

∵△OCR∽△GFR

∴，

∴，

∴a＝2，

∴⊙O的半径＝4．