Question

【题目】(1)观察推理:如图①，在中，,直线过点，点在直线的同侧，，垂足分别为.求证:.

(2)类比探究:如图②，在中，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求的面积.

(3)拓展提升:如图③，在中，，点在上，且，动点从点沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转120°得到线段.要使点恰好落在射线上，求点运动的时间.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)8;(3)4s.

【解析】

（1）先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD，则可根据“AAS”证明△AEC≌△CDB；

（2）作B′D⊥AC于D，如图2，先证明△B′AD≌△ABD得到B′D=AC=4，然后根据三角形面积公式计算；

（3）如图3，利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF，再证明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，则BP=BC+PC=4，然后计算点P运动的时间t．

（1）∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∴在Rt△AEC中，∠EAC+∠ACE=90°.

又∵∠ACE+∠DCB=180°-∠ACB=180°-90°=90°，

∴∠EAC=∠DCB，

在△AEC与△CDB中， ，

∴△AEC≌△CDB(AAS).

（2）如图，作B′D⊥AC于点D，则∠ADB′=∠BCA=90°.

由旋转可知，AB′=AB，∠B′AB=90°.

∴∠B′AC+∠BAC=90°，

在Rt△ACB中，∠B+∠BAC=90°.

∴∠B′AC=∠B.

在△B′AD与△ABC中，，

∴△B′AD≌△ABC(AAS)，

∴B′D=AC=4，

∴S△AB′C=×AC×B′D=×4×4=8.

（3）对图形进行角标注，如图所示.

∵BC=3cm，OC=2cm，

∴OB=BC-OC=1cm.

由旋转可知∠FOP=120°，OP=OF，

∴∠1+∠2=180°-∠FOP=180°-120°=60°，

在△BCE中，∠E=∠ECB=60°，

∴∠EBC=180°-∠E-∠ECB=180°-60°-60°=60°，

又∵∠OBF+∠CBE=180°，∠PCO+∠ECB=180°，

∴∠OBF=∠PCO.

在△PCO中，∠2+∠3=∠ECB=60°，

又∵∠1+∠2=60°，

∴∠1=∠3.

在△BOF与△CPO中， ，

∴△BOF≌△CPO(AAS)，

∴PC=OB=1cm，

∴EP=EC+PC=3+1=4cm，

∴点P的运动时间t=4÷1=4（s）.