Question

【题目】如图，BC⊥y轴，BC＜OA，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，D是线段BC上一点，BD＝OA＝2，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°，将△AEF沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则线段OE的值为_____．

Answer 1

【答案】6﹣或6或9﹣3

【解析】

可得到∠DOE＝∠EAF，∠OED＝∠AFE，即可判定△DOE∽△EAF，分情况进行讨论：①当EF＝AF时，△AEF沿AE翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；②当AE＝AF时，△AEF沿EF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；③当AE＝EF时，△AEF沿AF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长．

解：连接OD，过点BH⊥x轴，

①沿着EA翻折，如图1：∵∠OAB＝45°，AB＝3，

∴AH＝BH＝ABsin45°=，

∴CO＝，

∵BD＝OA＝2，

∴BD＝2，OA＝8，

∴BC＝8﹣，

∴CD＝6﹣；

∵四边形FENA是菱形，

∴∠FAN＝90°，

∴四边形EFAN是正方形，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∵∠DEF＝45°，

∴DE⊥OA，

∴OE＝CD＝6﹣；

②沿着AF翻折，如图2：

∴AE＝EF，

∴B与F重合，

∴∠BDE＝45°，

∵四边形ABDE是平行四边形

∴AE＝BD＝2，

∴OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6；

③沿着EF翻折，如图3：

∴AE＝AF，

∵∠EAF＝45°，

∴△AEF是等腰三角形，

过点F作FM⊥x轴，过点D作DN⊥x轴，

∴△EFM∽△DNE，

∴，

∴，

∴NE＝3﹣，

∴OE＝6﹣+3﹣＝9﹣3；

综上所述：OE的长为6﹣或6或9﹣3，

故答案为6﹣或6或9﹣3．