Question

8．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，则EF、EQ、BP三者之间的数量关系为EF=$\sqrt{2}$（BP-EQ）．．

Answer 1

分析 取BC的中点G，连接FG，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△FQE和△FPG全等，根据全等三角形对应边相等可得QE=FG，BF=BG，再根据BG+GP=BP等量代换即可得证；

解答 解：如图，取BC的中点G，连接FG，
∵点E、F、G分别是正方形边AD、AB、BC的中点，
∴△AEF和△BGD是两个全等的等腰直角三角形．
∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°．
∴∠EFG=90°，即EF⊥FG．
根据旋转的性质，FP=FQ，∠PFQ=90°．
∴∠GFP=∠GFE-∠EFP=90°-∠EFP，
∠EFQ=∠PFQ-∠EFP=90°-∠EFP．
∴∠GFP=∠EFQ．
在△FQE和△FPG中，
∵EF=GF，∠EFQ=∠GFP，FQ=FP，
∴△FQE≌△FPG（SAS）．
∴EQ=GP．
∴EF=GF=$\sqrt{2}$GB=$\sqrt{2}$（BP-GP）=$\sqrt{2}$（BP-EQ），
故答案为：EF=$\sqrt{2}$（BP-EQ）．．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．