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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C(0,3),tanOAC=

(1)求抛物线的解析式;

(2)点H是线段AC上任意一点,过H作直线HNx轴于点N,交抛物线于点P,求线段PH的最大值;

(3)点M是抛物线上任意一点,连接CM,以CM为边作正方形CMEF,是否存在点M使点E恰好落在对称轴上?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3)M(﹣4,0))或(2,0).

【解析】

试题分析:(1)由点C的坐标以及tanOAC=可得出点A的坐标,结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式,设N(x,0)(﹣4x0),可找出H、P的坐标,由此即可得出PH关于x的解析式,利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题;

(3)过点M作MKy轴于点K,交对称轴于点G,根据角的计算依据正方形的性质即可得出MCK≌△MEG(AAS),进而得出MG=CK.设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标,由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程,解方程即可求出x值,将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标.

试题解析:(1)C(0,3),OC=3,tanOAC=OA=4,A(﹣4,0).

把A(﹣4,0)、C(0,3)代入中,得,解得:抛物线的解析式为

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(﹣4,0)、C(0,3)代入y=kx+b中,得:,解得:直线AC的解析式为

设N(x,0)(﹣4x0),则H(x,),P(x,),PH== =0,PH有最大值,当x=2时,PH取最大值,最大值为

(3)过点M作MKy轴于点K,交对称轴于点G,则MGE=MKC=90°,∴∠MEG+EMG=90°,四边形CMEF是正方形,EM=MC,MEC=90°,∴∠EMG+CMK=90°,∴∠MEG=CMK.

MCK和MEG中,∵∠MEG=CMK,MGE=CKM,EM=MC∴△MCK≌△MEG(AAS),MG=CK.

由抛物线的对称轴为x=﹣1,设M(x,),则G(﹣1,),K(0,),MG=|x+1|,CK=||=| |=|||x+1|=||=±(x+1),解得:x1=﹣4,x2=,x3=,x4=2,代入抛物线解析式得:y1=0,y2=,y3=,y4=0,点M的坐标是(﹣4,0),(),()或(2,0).

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