【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C(0,3),tan∠OAC=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点H是线段AC上任意一点,过H作直线HN⊥x轴于点N,交抛物线于点P,求线段PH的最大值;
(3)点M是抛物线上任意一点,连接CM,以CM为边作正方形CMEF,是否存在点M使点E恰好落在对称轴上?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)M(﹣4,0)或(,)或(,)或(2,0).
【解析】
试题分析:(1)由点C的坐标以及tan∠OAC=可得出点A的坐标,结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式,设N(x,0)(﹣4<x<0),可找出H、P的坐标,由此即可得出PH关于x的解析式,利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题;
(3)过点M作MK⊥y轴于点K,交对称轴于点G,根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG(AAS),进而得出MG=CK.设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标,由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程,解方程即可求出x值,将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标.
试题解析:(1)∵C(0,3),∴OC=3,∵tan∠OAC=,∴OA=4,∴A(﹣4,0).
把A(﹣4,0)、C(0,3)代入中,得:,解得:,∴抛物线的解析式为.
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(﹣4,0)、C(0,3)代入y=kx+b中,得:,解得:,∴直线AC的解析式为.
设N(x,0)(﹣4<x<0),则H(x,),P(x,),∴PH== =,∵<0,∴PH有最大值,当x=2时,PH取最大值,最大值为.
(3)过点M作MK⊥y轴于点K,交对称轴于点G,则∠MGE=∠MKC=90°,∴∠MEG+∠EMG=90°,∵四边形CMEF是正方形,∴EM=MC,∠MEC=90°,∴∠EMG+∠CMK=90°,∴∠MEG=∠CMK.
在△MCK和△MEG中,∵∠MEG=∠CMK,∠MGE=∠CKM,EM=MC,∴△MCK≌△MEG(AAS),∴MG=CK.
由抛物线的对称轴为x=﹣1,设M(x,),则G(﹣1,),K(0,),∴MG=|x+1|,CK=||=| |=||,∴|x+1|=||,∴=±(x+1),解得:x1=﹣4,x2=,x3=,x4=2,代入抛物线解析式得:y1=0,y2=,y3=,y4=0,∴点M的坐标是(﹣4,0),(,),(,)或(2,0).
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【题目】如图,已知点C是线段AB的中点,点D是线段AC的中点,点E是线段BC的中点.
(1)若线段DE=11cm,求线段AB的长.
(2)若线段CE=4cm,求线段DB的长.
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【题目】如图,点C在线段AB上,AC=8 cm,CB=6 cm,点M,N分别是AC,BC的中点.
(1)求线段MN的长.
(2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a cm,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗?(用含a的代数式表示)并说明理由.
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【题目】下列说法错误的是( )
A.没有最大的正数,却有最大的负整数
B.数轴上离原点越远,表示数越大
C.0大于一切非负数
D.在原点左边离原点越远,数就越小
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【题目】如图,△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,求证:△ABC≌△A′B′C′.若△ABC≌△A′B′C′,那么△ABC和△A′B′C′一定关于某条直线l对称吗?若一定请给出证明,若不一定请画出反例图。
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【题目】下列命题中,真命题有( )
①邻补角的角平分线互相垂直;②两条直线被第三条直线所截,内错角相等;③两边分别平行的两角相等;④如果x2>0,那么x>0;⑤经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=4,PE=1.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求AD的长.
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