Question

【题目】如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN.

（问题发现）

（1）如图(2)，当n＝1时，BM与PD的数量关系为 ，CN与PD的数量关系为 .

（类比探究）

（2）如图(3)，当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.

（拓展延伸）

（3）在(2)的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMVP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长

Answer 1

【答案】（1）BM＝PD； （2）见解析 （3）或

【解析】

（1）当n＝1时四边形ABCD和四边形AMNP均为正方形，所以AM=AP,AB=AD，从而得出BM=PD，再根据得出，从而得出结论；

（2）连接AC，证明,即可求解；

（3）分两种情况考虑：通过证得出对应边数量关系，设，则解直角三角形AQM，从而计算出QM的长度，从而求算CN．

（1）解：∵当n＝1时四边形ABCD和四边形AMNP均为正方形

∴AM=AP,AB=AD

∴BM＝PD

又∵

∴

∴

（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，.

理由：连接AC，如图：

在矩形ABCD和矩形AMNP中，

∵.AD=2AB， AP=2AM，

∴，

∴.

易得

∴△ANC∽△APD

∴

∴

（3）分两种情况考虑：

①如图：

∵已知AD＝4，AP＝2,

∴AB=2,AM=PN=1

由图知：

∴

设，则 ，在直角三角形AQM中：

解得： （舍）

∴ ，

∴

∴

②如图：

由①可得：，，MN=2

∴