Question

【题目】已知是的一条弦，点在上，联结并延长，交弦于点，且．

（1）如图1，如果平分，求证：；

（2）如图2，如果，求的值；

（3）延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于，求弦的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）和

【解析】

（1）由题意利用弦心距即可求证结果，

（2）此题关键先求出AO，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，

（3）分情况讨论两种情况：OE=BE时或OB=BE时两种情况，利用三角形相似即△COE△CBO找到相似比，利用相似比求解即可．

（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，

∵BO平分∠ABC，

∴OP=OQ，

∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，

∴AB= BC；

（2）∵OA=OB，

∴∠A=∠OBD，

∵CD=CB，

∴∠CDB =∠CBD，

∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，

∴∠AOD =∠CBO，

∵OC=OB，

∴∠C =∠CBO，

∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，

∵AO⊥OB，

∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，

∴∠AOD=30°，

过点D作DH⊥AO，垂足为点H，

∴∠AHD=∠DHO=90°，

∴tan∠AOD ==，

∵∠AHD=∠AOB=90°，

∴HD‖OB，

∴ ，

∵OA=OB，

∴HD=AH，

∵HD‖OB，

∴；

（3）∵∠C=∠CBO，

∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO，

∴OE≠OB；

若OB = EB =2时，

∵∠C=∠C，∠COE =∠AOD =∠CBO，

∴△COE△CBO，

∴，

∴，

∴-2BC -4=0，

∴BC = +1 (舍去)或BC =+1，

∴BC =+1；

若OE = EB时，

∵∠EOB =∠CBO，

∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，

∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，

∴∠OEB=90°，

∴cos∠CBO=，

∵OB=2，

∴EB = ，

∵OE过圆心，OE⊥BC，

∴BC =2EB =2．