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【题目】在△ABC中,ABACCDAB边上的中线,点E在边AC上(不与AC重合),且BECD.设k,若符合条件的点E有两个,则k的取值范围是_____

【答案】

【解析】

符合条件的点E有两个EE1,则AC边上的高垂直平分EE1,由等腰三角形的性质得出BE是中线,AE=CE,求出当CDAB时,BEAC,满足条件的点E有一个,此时ABC是等边三角形,AB=BC=1;求出当满足条件的一个点E1与点A重合时,=;当满足条件的一个点E1与点C重合时,BE=BC,证明BCE∽△ABC,得出=,求出AB=BC,得出=,即可得出结果.

解:设=k,若符合条件的点E有两个EE1

AC边上的高垂直平分EE1

AB=ACCDAB边上的中线,BE=CD

BE是中线,AE=CE

CDAB时,BEAC,满足条件的点E有一个,

此时ABC是等边三角形,AB=BC

=1

当满足条件的一个点E1与点A重合时,BE=AB

BGACG,如下图所示:

AG=EG=AE=AC=AB

由勾股定理得:BG2=AB2-AG2

BC2=BG2+CG2=AB2-AG2+CG2=AB2-AB2+AB2=AB2

BC=AB

=

当满足条件的一个点E1与点C重合时,BE=BC

如下图所示:

∴∠BCE=BEC

AB=AC

∴∠ABC=ACB

∴∠BCE=BEC=ABC=ACB

∴△BCE∽△ABC

=

BC2=AB×CE=AB2

AB=BC

=

综上所述,设=k,若符合条件的点E有两个,则k的取值范围是:k,且k≠1

故答案为k,且k≠1

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