【题目】在△ABC中,AB=AC,CD是AB边上的中线,点E在边AC上(不与A,C重合),且BE=CD.设=k,若符合条件的点E有两个,则k的取值范围是_____.
【答案】且
【解析】
符合条件的点E有两个E、E1,则AC边上的高垂直平分EE1,由等腰三角形的性质得出BE是中线,AE=CE,求出当CD⊥AB时,BE⊥AC,满足条件的点E有一个,此时△ABC是等边三角形,AB=BC,=1;求出当满足条件的一个点E1与点A重合时,=;当满足条件的一个点E1与点C重合时,BE=BC,证明△BCE∽△ABC,得出=,求出AB=BC,得出=,即可得出结果.
解:设=k,若符合条件的点E有两个E、E1,
则AC边上的高垂直平分EE1,
∵AB=AC,CD是AB边上的中线,BE=CD,
∴BE是中线,AE=CE,
当CD⊥AB时,BE⊥AC,满足条件的点E有一个,
此时△ABC是等边三角形,AB=BC,
=1;
当满足条件的一个点E1与点A重合时,BE=AB,
作BG⊥AC于G,如下图所示:
则AG=EG=AE=AC=AB,
由勾股定理得:BG2=AB2-AG2,
BC2=BG2+CG2=AB2-AG2+CG2=AB2-(AB)2+(AB)2=AB2,
∴BC=AB,
∴=;
当满足条件的一个点E1与点C重合时,BE=BC,
如下图所示:
∴∠BCE=∠BEC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠BCE=∠BEC=∠ABC=∠ACB,
∴△BCE∽△ABC,
∴=,
∴BC2=AB×CE=AB2,
∴AB=BC,
∴=;
综上所述,设=k,若符合条件的点E有两个,则k的取值范围是:<k<,且k≠1;
故答案为<k<,且k≠1.
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【题目】某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.经过市场调查,发现这种商品的销售单价每降低1元,其日销量可增加8件.设该商品每件降价x元,商场一天可通过A商品获利润y元.
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量x的取值范围)
(2)A商品销售单价为多少时,该商场每天通过A商品所获的利润最大?
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【题目】某市为了解旅游人数的变化情况,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间的月接待旅游量(单位:万人次)的数据并绘制了统计图如下:
根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是( )
A.2017年至2019年,各年的月接待旅游量高峰期大致在7,8月份
B.2019年的月接待旅游量的平均值超过300万人次
C.2017年至2019年,年接待旅游量逐年增加
D.2017年至2019年,各年下半年(7月至12月)的月接待旅游量相对于上半年(1月至6月)波动性更小,变化比较平稳
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【题目】阅读材料,解决问题:
如图,为了求平面直角坐标系中任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)之间的距离,可以AB为斜边作Rt△ABC,则点C的坐标为C(x2,y1),于是AC=|x1﹣x2|,BC=|y1﹣y2|,根据勾股定理可得AB=,反之,可以将代数式的值看做平面内点(x1,y1)到点(x2,y2)的距离.
例如∵= =,可将代数式看作平面内点(x,y)到点(﹣1,3)的距离
根据以上材料解决下列问题
(1)求平面内点M(2,﹣3)与点N(﹣1,3)之间的距离;
(2)求代数式的最小值.
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【题目】如图,二次函数的图象与轴交于点和点,与轴交于点,以为边在轴上方作正方形,点是轴上一动点,连接,过点作的垂线与轴交于点.
(1)求该抛物线的函数关系表达式;
(2)当点在线段(点不与重合)上运动至何处时,线段的长有最大值?并求出这个最大值;
(3)在第四象限的抛物线上任取一点,连接.请问:的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知是的一条弦,点在上,联结并延长,交弦于点,且.
(1)如图1,如果平分,求证:;
(2)如图2,如果,求的值;
(3)延长线段交弦于点,如果是等腰三角形,且的半径长等于,求弦的长.
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【题目】教育行政部门规定初中生每天户外活动的平均时间不少于1小时,为了解学生户外活动的情况,随机地对部分学生进行了抽样调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中共调查的学生人数为 ;活动时间为1小时所占的比例是 .
(2)补全条形统计图;
(3)若该市共有初中生约14000名,试估计该市符合教育行政部门规定的活动时间的学生数;
(4)如果从中任意抽取1名学生,活动时间为2小时的概率是多少?
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