【题目】如图,二次函数的图象与轴交于点和点,与轴交于点,以为边在轴上方作正方形,点是轴上一动点,连接,过点作的垂线与轴交于点.
(1)求该抛物线的函数关系表达式;
(2)当点在线段(点不与重合)上运动至何处时,线段的长有最大值?并求出这个最大值;
(3)在第四象限的抛物线上任取一点,连接.请问:的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)时,线段有最大值.最大值是;(3)时,的面积有最大值,最大值是,此时点的坐标为.
【解析】
(1)将点的坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)设,则,由得出比例线段,可表示的长,利用二次函数的性质可求出线段的最大值;
(3)过点作轴交于点,由即可求解.
解:(1))∵抛物线经过,,
把两点坐标代入上式,,
解得:,
故抛物线函数关系表达式为;
(2)∵,点,
∴,
∵正方形中,,
∴,
,
∴,
又∵,
∴,
∴,
设,则,
∴,
∴,
∵,
∴时,线段长有最大值,最大值为.
即时,线段有最大值.最大值是.
(3)存在.
如图,过点作轴交于点,
∵抛物线的解析式为,
∴,
∴点坐标为,
设直线的解析式为,
∴,
∴,
∴直线的解析式为,
设,则,
∴,
∴,
∵,
∴时,的面积有最大值,最大值是,此时点的坐标为.
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【题目】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在同一条公路上,匀速行驶,相向而行,到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后,因故停车0.5小时,故障解除后,继续以原速向B地行驶,两车之间的路程y(千米)与出发后所用时间x(小时)之间的函数关系如图所示.
(1)求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙.
(2)求m的值.
(3)若甲车没有故障停车,求可以提前多长时间两车相遇.
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【题目】垫球是排球队常规训练的重要项目之一.下列图表中的数据是甲,乙,丙三名校排球队员每人10次垫球测试的成绩.测试规则为每次连续接球10个,每垫球到位1个记1分.
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
成绩(分) | 7 | 6 | 8 | 7 | 5 | 8 | 8 | 7 |
(1)若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7,则成绩统计表中 , ;
(2)若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为排球比赛的自由人,你认为选谁更合适?请用你所学过的统计量加以分析说明(参考数据:三人成绩的方差分别为,,)
(3)训练期间甲、乙、丙三人之间进行随机传球游戏,先由甲传出球,经过三次传球,球回到甲手中的概率是多少?
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).下列结论:①2a﹣b=0;②(a+c)2<b2;③当﹣1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x﹣2)2﹣2.其中正确的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
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【题目】如图,在直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上,点B的坐标是(5,2),点P是CB边上一动点(不与点C、点B重合),连结OP、AP,过点O作射线OE交AP的延长线于点E,交CB边于点M,且∠AOP=∠COM,令CP=x,MP=y.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)当x为何值时,OP⊥AP?
(3)在点P的运动过程中,是否存在x,使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积?若存在,请求x的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,CD是AB边上的中线,点E在边AC上(不与A,C重合),且BE=CD.设=k,若符合条件的点E有两个,则k的取值范围是_____.
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【题目】如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上,那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”,已知圆的半径长为,这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形,那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________.
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【题目】如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;
(2)求斜坡CD的长度.
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【题目】已知在平面直角坐标中,点A(m,n)在第一象限内,AB⊥OA且AB=OA,反比例函数y=的图象经过点A,
(1)当点B的坐标为(4,0)时(如图1),求这个反比例函数的解析式;
(2)当点B在反比例函数y=的图象上,且在点A的右侧时(如图2),用含字母m,n的代数式表示点B的坐标;
(3)在第(2)小题的条件下,求的值.
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