【题目】如图1,在中,,,,点D,E分别是边,的中点,连接.将绕点C按逆时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
①当时,;②当时,;
(2)拓展探究
试判断:当时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决
当旋转至时,请直接写出的长.
【答案】(1)①;②;(2)不变,证明见解析;(3)2或2
【解析】
(1)①当=0°时,在Rt△ABC中,由勾股定理,求出AC的值是多少;然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点,分别求出AE、BD的大小,即可求出BD、AE的比值;
②中,图形如下,与①有所变化,但求解方法完全相同;
(2)证明△ECA∽△DCB,从而根据边长成比例得出比值;
(3)存在2种情况,一种是当时,;另一种是当时,,分别利用勾股定理可求得.
(1)①∵在中,,,,点D,E分别是边,的中点
∴CD=BD=2,在Rt△ABC中,AB=,AC=
∴AE=
∴;
②图形如下:
同理可知:BC=4,AC=,DC=2,DE=,CE=
∴BD=DC+CB=2+4=6,AE=EC+AC==
∴;
(2)不变,理由如下
∵∠ECD=∠ACB,
∴∠ECA=∠DCB,
又∵,
∴△ECA∽△DCB,
∴;
(3)情况一:当时,,图形如下,过点D作BC的垂线,交BC延长线于点F
∵ED∥AC,∴∠ACD=∠EDC=90°
∵∠ACB=∠ECD=30°
∴∠ECF=30°,∴∠FCD=60°
∵CD=2
∴在Rt△DCF中,CF=1,FD=
∴FB=FC=CB=1+4=5
∴在Rt△FDB中,DB=2;
情况二:当时,,图形如下,过点D作BC的垂线,交BC于点F
∵DE∥AC,∴∠ACD=90°
∵∠ACB=30°,∴∠DCF=60°
∵CD=2,∴在Rt△CDF中,CF=1,DF=
∴FB=CB-CF=4-1=3
∴在Rt△FDB中,DB=2
综上得:DB的长为2或2.
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【题目】已知是的一条弦,点在上,联结并延长,交弦于点,且.
(1)如图1,如果平分,求证:;
(2)如图2,如果,求的值;
(3)延长线段交弦于点,如果是等腰三角形,且的半径长等于,求弦的长.
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【题目】某中学号召全校学生进行安全教育网络学习,并对部分学生的学习情况进行了随机调查.对部分学生的成绩(x为整数,满分100分)进行统计,并绘制了如下统计图表.
调查结果频数分布表
| 调查结果扇形统计图 |
根据所给信息,解答下列问题:
(1)填空:_________,_________;
(2)求扇形统计图中,m的值及A组对应的圆心角的度数;
(3)若参加学习的同学共有1500人,请你估计成绩不低于80分的同学有多少人.
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【题目】如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B 的坐标为(8,4),反比例函数y=(k>0)的图象分别交边BC、AB 于点D、E,连结DE,△DEF与△DEB关于直线DE对称,当点F恰好落在线段OA上时,则k的值是________.
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【题目】芜湖市某医院计划选购A,B两种防护服.已知A防护服每件价格是B防护服每件价格的2倍,用80000元单独购买A防护服比用80000元单独购买B防护服要少50件.如果该医院计划购买B防护服的件数比购买A防护服件数的2倍多8件,且用于购买A,B两种防护服的总经费不超过320000元,那么该医院最多可以购买多少件B防护服?
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