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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点DAE⊥DC,垂足为EFAE与⊙O的交点,AC平分∠BAE,连接OC

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)若⊙O半径为4,∠D=30°,求图中阴影部分的面积(结果用含π和根号的式子表示).

【答案】(1)答案见解析;(2)

【解析】试题分析:由OA=OC,根据等腰三角形的性质可得∠OAC=OCA .根据角平分线的定义可得∠OAC=CAE 所以OCA=CAE ,即可判定OCAE ,再由AEDE 即可得∠E =90°=OCD,结论得证;(2)在RtODC中,求得ODCD的长,再由S阴影=SOCD-S扇形OBC即可求得图中阴影部分的面积.

试题解析:

(1)证明

OA=OC

∴∠OAC=∠OCA .

AC平分BAE

∴∠OAC=∠CAE

∴∠OCA=∠CAE

OCAE

∴∠OCD=∠E .

AEDE

∴∠E =90°=∠OCD

OCCD

CD是圆O的切线.

(2)在RtODC中,

∵∠D=30°OC=4

∴∠COD=60°OD=2OC=8

S阴影=SOCD-S扇形OBC= .

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销售时段

销售数量

销售收入

A种型号

B种型号

第一周

3

4

1200

第二周

5

6

1900

(进价、售价均保持不变,利润=销售收入﹣进货成本)

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(2)若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台?

(3)在(2)的条件下,商场销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.

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