Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：

（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作CE⊥AB于E，

∵DC∥AB，DA⊥AB，

∴四边形AECD是矩形，

∴AE=CD=5，CE=AD=4，

∴BE=3，

∴BC= ，

∴BC＜AB，

∴P到C时，P、Q同时停止运动，

∴t= （秒），

即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动

（2）

解：由题意知，AQ=BP=t，

∴QB=8﹣t，

作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE，

∴ ，即 ，

∴BF= ，

∴S= QBPF= × （8﹣t）= =﹣ （t﹣4）2+ （0＜t≤5），

∵﹣ ＜0，

∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是

（3）

解：∵cos∠B= ，

① 当PQ=PB时（如图2所示），则BG= BQ， = = ，解得t= s，

②当PQ=BQ时（如图3所示），则BG= PB， = = ，解得t= s，

③当BP=BQ时（如图4所示），则8﹣t=t，

解得：t=4．

综上所述：当t= s， s或t=4s时，△PQB为等腰三角形

【解析】（1）通过比较线段AB，BC的大小，找出较短的线段，根据速度公式可以直接求得；（2）由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；（3）根据等腰三角形的性质和余弦公式列出等式求解，即可求的结论．
【考点精析】利用相似三角形的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．