Question

如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图1，猜想∠QEP= °；

（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

 

 

Answer 1

（1） 60°；(2) 60°，证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由△ACP≌△BCQ得到∠APC=∠Q，根据圆周角定理，点P、E、C、Q 四点共圆，所以∠QEP=∠PCQ=6O°．

（2）同（1）可得．

（3）证明△GBC为等腰直角三角形，即可根据等腰直角三角形的性质求得BQ的长．

（1）60°．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°．

又由题意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O°，

∴∠ACP=∠BCQ．

∴ △ACP≌△BCQ．

∴ ∠APC=∠Q．

∴点P、E、C、Q 四点共圆．

∴∠QEP=∠PCQ=6O°．

（2）60°．以∠DAC是锐角为例证明如下:

∵ △ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°．

又由题意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O°，

∴∠ACP=∠BCQ．

∴ △ACP≌△BCQ．

∴ ∠APC=∠Q．

∴点P、E、C、Q 四点共圆．

∴∠QEP=∠PCQ=6O°．

（3）设PC与BQ交于点G，

由题意可求，∠APC=30°，∠PCB=45°．

又由（2）可证 ∠QEP=60°．

∴可证QE垂直平分PC，

∴△GBC为等腰直角三角形．

∵AC=4，

∴，

∴．

考点：1．线动旋转问题；2．等边三角形的性质；3．全等三角形的判定和性质；4．圆周角定理；5．等腰直角三角形的判定和性质．