Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )

①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC=60°；

③点D在线段ABC的垂直平分线上； ④BD=2CD.

A. 2个 B. 3个 C. 1个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据“角平分线的尺规作法”结合“已知条件”进行分析判断即可.

（1）由题意可知，图中的尺规作图，作的是∠BAC的角平分线，故结论①成立；

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAD=30°，

∴∠ADC=180°-90°-30°=60°，故结论②成立；

（3）∵∠BAD=30°，∠B=30°，

∴∠BAD=∠B，

∴AD=BD，

∴点D在AB的垂直平分线上，故结论③成立；

（4）∵在△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，

∴AD=2CD，

∵AD=BD，

∴BD=2CD，故结论④成立；

综上所述，题中4个结论都成立.

故选D.