【题目】如图,在正方形ABCD中,点E是对角线AC上一点,且CE=CD,过点E作EF⊥AC交AD于点F,连接BE.
(1)求证:DF=AE;
(2)当AB=2时,求BE2的值.
【答案】(1)见解析;(2)8-4
【解析】试题分析:(1)连接CF,根据“HL”证明Rt△CDF≌Rt△CEF,根据全等三角形对应边相等可得,根据正方形的对角线平分一组对角可得求出△AEF是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF,然后等量代换即可得证;
(2)根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC,然后求出AE,过点E作EH⊥AB于H,判断出△AEH是等腰直角三角形,然后求出
再求出,然后利用勾股定理列式计算即可得解
试题解析:(1)证明:如图,连接CF,
在Rt△CDF和Rt△CEF中,
∴Rt△CDF≌Rt△CEF(HL),
∴DF=EF,
∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AE=EF,
∴DF=AE;
(2)∵AB=2,
∵CE=CD,
过点E作EH⊥AB于H,
则△AEH是等腰直角三角形,
,
在Rt△BEH中,
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线; ②∠ADC=60°;
③点D在线段ABC的垂直平分线上; ④BD=2CD.
A. 2个 B. 3个 C. 1个 D. 4个
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【题目】如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断( )
A. 甲正确,乙错误 B. 乙正确,甲错误
C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误
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【题目】如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,AD//BC,AC=8,BD=6.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC⊥BD,求□ABCD的面积.
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【题目】如图①,已知直线PQ∥MN,点A在直线PQ上,点C,D在直线MN上,连接AC,AD,∠PAC=50°,∠ADC=30°,AE平分∠PAD,CE平分∠ACD,AE与CE相交于点E.
(1)求∠AEC的度数;
(2)若将图①中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图②所示位置,此时A1E平分∠AA1D1,
CE平分∠ACD1,A1E与CE相交于E,∠PAC=50°,∠A1D1C=30°,求∠A1EC的度数;
(3)若将图①中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图③所示位置,其他条件与(2)相同,求此时∠A1EC的度数(直接写出结果).
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【题目】探索题
图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图b的形状拼成一个正方形.
(1)你认为图b中的影部分的正方形的边长等于 .
(2)请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积.
方法1: (只列式,不化简)
方法2: (只列式,不化简)
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式:(m+n)2,(m-n)2,.
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=8,ab=5,则 (a-b)2= .
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(﹣1,3)、(﹣4,1)、(﹣2,1),将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是(1,2),则点A1,C1的坐标分别是 ( )
A. A1(4,4),C1(3,2) B. A1(3,3),C1(2,1)
C. A1(4,3),C1(2,3) D. A1(3,4),C1(2,2)
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【题目】如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线y1= 与直线y2=﹣x﹣(k+1)在第二象限的交点.AB⊥x轴于B,且S△ABO= .
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求△AOC的面积;
(3)直接写出使y1>y2成立的x的取值范围.
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【题目】人民公园划出一块矩形区域,用以栽植鲜花.
(1)经测量,该矩形区域的周长是72m,面积为320m2 , 请求出该区域的长与宽;
(2)公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为(1)中区域的周长和面积的一半,你认为此设想合理吗?如果此设想合理,请求出其长和宽;如果不合理,请说明理由,并求出在(1)中周长减半的条件下矩形面积的最大值.
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