Question

10．如图，四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC、AB上，且CE=BK，并将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAG．
（1）尺规作图，以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：要求保留作图痕迹，不用写作法和证明）；
（2）连接（1）中的KF，求证：四边形CEFK是平行四边形；
（3）当tan∠BCK=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{{S}_{正方形ABCD}}{{S}_{正方形DEFG}}$的值．

Answer 1

分析 （1）分别过E和G作DE和DG的垂线，交点是F，即可求解；
（2）证明△BCK≌△CDE，证明∠EGC=90°，则CK∥EF且CK=EF即可证得；
（3）根据三角函数求得BC和CK的比值，即两个正方形的边长的比，进而求得面积的比．

解答 解：（1）如图：

四边形CEFK是所求的四边形；
（2）∵在直角△BCK和直角△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=KB}\\{CD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCK≌△CDE，
∴DE=CK，∠BCK=∠CDE，
又∵直角△CDE中，∠DEC+∠CDE=90°，
∴∠DEC+∠BCK=90°，
∴∠EGC=90°，
又∵正方形DEFG中，∠DEF=90°，
∴CK∥EF，
又∵EF=DE，
∴EF=CK，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（3）∵tan∠BCK=$\frac{1}{3}$，
∴cos∠BCK=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴$\frac{{S}_{正方形ABCD}}{{S}_{正方形DEFG}}$=（cos∠BCK）²=（$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）²=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查了正方形的性质以及平行四边形的判定，正确证明CK∥EF是解决本题的关键．