Question

【题目】如下图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）∠A＝∠GEF；（2）△BDF≌FEC.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由CD是⊙O的直径，所以∠DFC＝∠ACB＝90°，则DF∥AC，由平行线的性质可得∠A＝∠BDF，再由圆周角定理得∠BDF=∠GEF，即可得∠A=∠GEF；
（2）连接DE，可证出四边形DECF是矩形，根据矩形的性质得DF＝EC，EF＝CD，再由直角三角形斜边上的中线得EF＝CD=AB＝DB，根据HL即可得Rt△BDF≌Rt△FEC．

证明：（1）∵CD是⊙O直径，

∴∠DFC＝90°又∠ACB＝90°，

∴DF∥AC，

∴∠A＝∠BDF，

∵∠BDF=∠GEF（圆周角定理），

∴∠A＝∠GEF；

（2）连接DE，

∵四边形DECF内接于⊙O，

∠ACB＝90°，

∴∠EDF＝∠DFC＝∠ACB＝90°，

∴四边形DECF是矩形，

∴DF＝EC，EF＝CD，又D是AB的中点，

∴EF＝CD=AB＝DB，

∴Rt△BDF≌Rt△FEC．