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【题目】在△ABC中,ABBC,∠ABC120°,△CDE为等边三角形,CD2,连接AD,MAD中点

(1)如图1,当BCE三点共线时,证明: BMME

(2)如图2,当ACE三点共线时,求BM的长

(3)如图3,取BE中点N,连MN.将△CDE绕点C旋转,直接写出旋转过程中线段MN的取值范围

【答案】1)见解析;(2;(3

【解析】

1)先作出图形,进而证明△AMF≌△DME,即可得出结论;

2)同(1)的方法证出△AMF≌△DMF,利用四边形的内角和定理以及平角的定义得出∠BCE=BAF即可得出∠BME=90°,最后利用勾股定理即可得出结论;

2)同(2)的方法得出∠BME=90°,进而得出BE=2MN,最后利用三角形的三边关系即可得出结论.

1)证明:如图1,延长BAEM交于点F,即:△FAM即为所求,

∵△CDE是等边三角形

CD=CE=DE,∠CED=60°

∵∠ABC=120°

∴∠ABC+CED=180°

BCE三点共线

ABDE

∴∠F=DEM

∵点MAD中点

AM=DM

又∵∠FMA=EMD

∴△AMF≌△DME

AF=DE=CEFM=ME

AB=BC

BF=BE

BMME

2)证明:如图2,延长EM到点F,使MF=ME,连接BFAF,,BE

AM=DM,∠FMA=DME

∴△AMF≌△DMF

AF=DE=CE,∠FAD=ADE

在四边形BADE

∵∠BAD+ADE+DEB+EBA=360°

∵∠ABC=120°,∠CED=60°

∴∠CBE+CEB+BAD+ADE=180°

∵∠CBE+CEB+BCE=180°

∴∠BCE=BAD+ADE

∴∠BCE=BAF

AB=BC

∴△AFB≌△CEB

BF=BE,∠ABF=CBE

∴∠FBE=ABC=120°,∠BEF=30°

∴∠BME=90°BE=2BM

在△ABC

AB=AC=,ABC=120°

∴∠BAC=30°

过点BBGAC于点G

BG=CG=AG=3

EG=CG+CE=3+2=5

RtBCE中,根据勾股定理得

3)如图3,延长EM到点F,使MF=ME,连接BFAFBM

AM=DM,∠FMA=DME

∴△AMF≌△DMF

AF=DE=CE,∠FAD=ADE

在四边形BADE中,

∵∠BAD+ADE+DEB+EBA=360°

∵∠ABC=120°,∠CED=60°

∴∠CBE+CEB+BAD+ADE=180°

∵∠CBE+CEB+BCE=180°

∴∠BCE=BAD+ADE

∴∠BCE=BAF

AB=BC

∴△AFB≌△CEB

BF=BE,∠ABF=CBE

∴∠FBE=ABC=120°,∠BEF=30°

∴∠BME=90°

∵点NBE的中点

MN=BE

即:BE=2MN

在△BCE中,BC=CE=CD=2

故答案为:

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