【题目】在△ABC中,AB=BC=,∠ABC=120°,△CDE为等边三角形,CD=2,连接AD,M为AD中点
(1)如图1,当B、C、E三点共线时,证明: BM⊥ME
(2)如图2,当A、C、E三点共线时,求BM的长
(3)如图3,取BE中点N,连MN.将△CDE绕点C旋转,直接写出旋转过程中线段MN的取值范围
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)先作出图形,进而证明△AMF≌△DME,即可得出结论;
(2)同(1)的方法证出△AMF≌△DMF,利用四边形的内角和定理以及平角的定义得出∠BCE=∠BAF即可得出∠BME=90°,最后利用勾股定理即可得出结论;
(2)同(2)的方法得出∠BME=90°,进而得出BE=2MN,最后利用三角形的三边关系即可得出结论.
(1)证明:如图1,延长BA,EM交于点F,即:△FAM即为所求,
∵△CDE是等边三角形
∴CD=CE=DE,∠CED=60°
∵∠ABC=120°
∴∠ABC+∠CED=180°
∵B、C、E三点共线
∴AB∥DE
∴∠F=∠DEM
∵点M是AD中点
∴AM=DM
又∵∠FMA=∠EMD
∴△AMF≌△DME
∴AF=DE=CE,FM=ME
∵AB=BC
∴BF=BE
∴BM⊥ME
(2)证明:如图2,延长EM到点F,使MF=ME,连接BF,AF,,BE,
∵AM=DM,∠FMA=∠DME
∴△AMF≌△DMF
∴AF=DE=CE,∠FAD=ADE
在四边形BADE中
∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°
∵∠ABC=120°,∠CED=60°
∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°
∴∠BCE=∠BAD+∠ADE
∴∠BCE=∠BAF
∵AB=BC
∴△AFB≌△CEB
∴BF=BE,∠ABF=∠CBE
∴∠FBE=∠ABC=120°,∠BEF=30°
∴∠BME=90°,BE=2BM
在△ABC中
AB=AC=,∠ABC=120°
∴∠BAC=30°
过点B作BG⊥AC于点G
∴BG=,CG=AG=3
∴EG=CG+CE=3+2=5
在Rt△BCE中,根据勾股定理得
∴
(3)如图3,延长EM到点F,使MF=ME,连接BF,AF,BM
∵AM=DM,∠FMA=∠DME
∴△AMF≌△DMF
∴AF=DE=CE,∠FAD=∠ADE
在四边形BADE中,
∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°
∵∠ABC=120°,∠CED=60°
∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°
∴∠BCE=∠BAD+∠ADE
∴∠BCE=∠BAF
∵AB=BC
∴△AFB≌△CEB
∴BF=BE,∠ABF=∠CBE
∴∠FBE=∠ABC=120°,∠BEF=30°
∴∠BME=90°
∵点N是BE的中点
∴MN=BE
即:BE=2MN
在△BCE中,BC=,CE=CD=2
∴
∴
∴
故答案为:
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【题目】为了响应“足球进校国”的目标,兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中,一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式h=﹣5t2+v0t表示,其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间,v0(m/s)是足球被踢出时的速度,如果要求足球的最大高度达到20m,那么足球被踢出时的速度应该达到( )
A. 5m/s B. 10m/s C. 20m/s D. 40m/s
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【题目】关于x的二次函数y1=x2+kx+k﹣1(k为常数)
(1)对任意实数k,函数图象与x轴都有交点
(2)若当x≥75时,函数y的值都随x的增大而增大,求满足条件的最小整数k的值
(3)K取不同的值时,函数抛物线的顶点位置也会变化,但会在某一函数图象上,求该函数图象的解析式
(4)若当自变量x满足0≤x≤3时,与其对应的函数值y的最小值为10,求此时k的值.
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【题目】如图,某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为多少米?
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【题目】如图,矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,使点B的对应点B'落在AC上,B'C'交AD于点E,在B'C′上取点F,使B'F=AB.
(1)求证:AE=C′E.
(2)求∠FBB'的度数.
(3)已知AB=2,求BF的长.
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【题目】如图,二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交,其顶点坐标为(,1).下列结论:①abc<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的是( ).
A.①②③④B.②③④C.①②③D.①②④
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【题目】如图,抛物线经过点和点.
(1)求此抛物线的函数表达式和直线的函数表达式;
(2)动点在第一象限内的抛物线上.
①如图1,连接,,当的面积和的面积相等时,求出点的横坐标;
②如图2,连接,求的面积的最大值及此时点的坐标.
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【题目】如图,正比例函数y=kx(x≥0)与反比例函数 (x>0)的图象交于点A(2,3)。
(1)求正比例函数与反比例函数的解析式;
(2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.
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