Question

5．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，P、Q分别是AD、EC的中点，PQ交AE、CD于点M、N，若AB=4，AD=3，求线段MN的长．

Answer 1

分析 如图首先根据条件证明DE∥AC，再证明AM∥HN，得四边形MNHA是平行四边形，利用面积法求出高DH，利用勾股定理求出AH，根据MN=AH可以解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，AD=3，AB=4，
∴AD=BC=3，AB=DC=4，CD∥AB，∠B=90°
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5cm，∠2=∠3，
∵将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，∵AE=CD，
∴DF=EF，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠5=∠4=∠3，
∴DE∥AC，
∵AD=CE=3cm，且AD与CE不平行，
∴四边形ACED是等腰梯形，
过点D、E分别作DH⊥AC于点H，
在Rt△ACD中，$\frac{1}{2}$DH•AC=$\frac{1}{2}$AD•DC，则DH=$\frac{12}{5}$，在Rt△ADH中，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∵DE∥AC，DP=AP，EQ=QC
∴DE∥PQ∥AC，DN=NC，
∵∠DHC=90°，
∴HN=NC=DN，
∴∠3=∠NHC=∠1，
∴NH∥AM，
∵MN∥AH，
∴四边形MNHA是平行四边形，
∴MN=AH=$\frac{9}{5}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定和性质、勾股定理、面积法的应用，由翻折的性质找出相等的角或边是解题的关键．