Question

【题目】如图，O是坐标原点，过点A（﹣1，0）的抛物线y=x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．

（1）求b的值以及点D的坐标；

（2）连接BC、BD、CD，在x轴上是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）动点Q的坐标为（m，1）．

①当△BCQ是以BC为直角边的直角三角形时，求m的值；

②连接OQ、CQ，求△CQO的外接圆半径的最小值，并求出此时点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）b=2；D（1，﹣4）；（2）点P的坐标（0，0）（9，0）；（3）Q的坐标是（2，1）或Q（﹣2，1）．

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；

（2）根据相似三角形的性质，可得AP的长，根据线段的和差，可得P点坐标；

（3）①利用两点间的距离公式和勾股定理求得答案；

②根据三角形的外心在边的垂直平分线上，可得M在OC的垂直平分线上，根据切线的性质MQ=FN，根据勾股定理，可得MN的长，可得答案．

（1）把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣3，得

1+b﹣3=0，

解得b=2．

y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）．

（2）如图1，

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，即A（﹣1，0），B（3，0），D（1，﹣4）．

由勾股定理，得

BC2=18，CD2=1+1=2，BD2=22+16=20，

BC2+CD2=BD2，∠BCD=90°，

①当△APC△DCB时， ，解得AP=1，即P（0，0）；

②当△ACP∽△DCB时，，解得AP=10，即P′（9，0），

综上所述：点P的坐标（0，0）（9，0）；

（3）①如图2，当x=0时，y=﹣3，即C（0，﹣3）．

又∵B（3，0），

∴当∠QBC=90°，由BC2+BQ2=CQ2得到：32+（﹣3）2+（m﹣3）2+12=（m﹣0）2+（1+3）2，

解得m=2；

当∠QCB=90°，由BC2+CQ2=BQ2得到：32+（﹣3）2+（m﹣0）2+（1+3）2=（m﹣3）2+12，

解得m=4；

综上所述，m的值为2或4；

②如图3，

记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（MN与y轴交与点N）．

∵当MQ取最小值时，

⊙M与直线y=1相切，

MQ=FN=OM=2.5，

MN=，

FQ=MN=2，

∴Q（2，1）．

根据题意知，（﹣2，1）也满足题意，

综上所述，Q的坐标是（2，1）或Q（﹣2，1）．