Question

6．在△ABC中，点E在角平分线BD的延长线上，且∠EAC=∠ABE，若2∠BAC+∠E=180°，tan∠EAC=$\frac{1}{2}$，AE=5，则BE的长是11．

Answer 1

分析 作CN⊥BE于N，CM⊥AE于M，先证明A、B、C、D四点共圆，得到AE=EC=5，再证明CE是∠BEM的角平分线，得出CN=CM，然后设CN=CM=a，在RT△CEM中利用勾股定理即可．

解答 解：如图作CN⊥BE于N，CM⊥AE于M，
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴A、B、C、E四点共圆，
∴AE=EC=5，
∵2∠BAC+∠AEB=180°，∠AEB=∠ACB，∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠CEB=∠BAC，∠CEM=∠ABC，
∴∠CEB=∠CEM，
∵CN⊥AE⊥CM⊥AE，
∴CN=CM，设CN=CM=a，
在△CEN和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{CN=CM}\end{array}\right.$，
∴△CEN≌△CEM．
∴EN=EM，
∵tan∠EAC=$\frac{1}{2}$，∠1=∠2，
∴AM=BN=2a，EM=EN=2a-5，
在RT△ECM中，∵EC²=EM²+CM²，
∴5²=a²+（2a-5）²，
∴a=4（或0舍弃）
∴BE=BN+EN=8+3=11．
故答案为11．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、四点共圆、角平分线的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是发现四点共圆，学会出现角平分线如何添加辅助线，属于中考常考题型．