Question

5．已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时
    ①求证：DG=2PC；
    ②求证：四边形PEFD是菱形；
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，其它条件不变，画出图形并直接猜想出四边形PEFD是怎样的特殊四边形．

Answer 1

分析 （1）①作PM⊥DG于点M，证明PCDM是矩形，即可证得；
②证明△ADF≌△MPG得到DF=PG，则证明DF∥PE，且DF=PE，则四边形PEFD是平行四边形，然后根据菱形的定义证明；
（2）根据（1）的叙述直接作出图形，于（1）中②相同即可判断．

解答 （1）证明：①作PM⊥DG于点M，
∵PD=PG，
∴MG=MD．
∵四边形ABCD是矩形．
∴PCDM是矩形．
∴PC=MD，
∴DG=2PC；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB．
∵四边形ABPM是矩形，
∴AB=PM，
∴AD=PM．
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠GDH+∠DGH=90°．
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG，
在△ADF和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠GMP}\\{∠ADF=∠MPG}\\{AD=PM}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MPG，
∴DF=PG，而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE．
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DP，而DF⊥PG，
∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF=PE．
∴四边形PEFD是平行四边形．
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形．
（2）四边形PEFD是菱形．

点评 本题考查了正方形的性质以及菱形的判定方法，正确证明四边形PEFD是平行四边形是解决本题的关键．