Question

13．如图，AC与⊙O相切于点D，连接并延长AO交⊙O于点B，过点B作BC⊥AC交于点C，交⊙O于点E，过点D作DF⊥AB垂足为F．
（1）求证：DC=DF；
（2）若点F是AB的中点，DF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接BD，OD，由切线的性质和垂直的定义得到∠ODC=∠C=90°，于是得到同角的余角相等，即∠1=∠3，再由等腰三角形的性质得到∠2=∠3，所以∠1=∠2，再由角平分线的性质得到结论；
（2）根据三角形全等证得BC=BF，因为F是AB的中点，得到AB=2BF=2BC，由直角三角形的性质得到∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质解得结果．

解答 解：（1）连接BD，OD，
∵AC与⊙O相切于点D，BC⊥AC，
∴∠ODC=∠C=90°，
∴∠1+∠4=∠4+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵CD⊥BC，DF⊥AB，
∴CD=DF；

（2）由（1）证得CD=DF，
在R_t△ACD与R_t△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DF}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴R_t△ACD≌R_t△BFD，
∴BC=BF，
∵点F是AB的中点，
∴AB=2BF=2BC，
∵∠C=90°，
∴∠A=30°，∴AD=2DF=4，
在R_t△AOD中，OD=AD•tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．