Question

1．已知：如图，在Rt△ABC中．∠ACB=Rt∠，AC=4，BC=3．将△ABC沿AB方向平移至△A′B′C，使A′C′经过BC的中点D．
（1）求证：AA′=A′B=BB′．
（2）求梯形AB′C′C的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质，可得AA′，BB′，CC′的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得A′B与CC′DEGUANXI，
（2）根据三角形的面积，可得梯形的高，根据梯形的面积公式，可得答案．

解答 （1）证明：∵△ABC沿AB方向平移至△A′B′C，
∴AA′=BB′=CC′．
∴CC′∥AB′，
∴∠CC′D=BA′D，∠DCC′=∠A′BD．
在△A′BD和△C′CD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BA′D=∠CC′D}\\{∠A′BD=∠C′CD}\\{A′D=C′D}\end{array}\right.$，
∴△A′BD≌△C′CD   （AAS），
∴A′B=C′C，
∴AA′=A′B=BB′．
（2）解：如图：，
AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，CC′=AA′=A′B=$\frac{5}{2}$，
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CB=$\frac{1}{2}$AB•CE．
CE=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
S_{梯形AB′C′C}=$\frac{1}{2}$（CC′+AB′）•CE=$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{2}$+5+$\frac{5}{2}$）×$\frac{12}{5}$=12．

点评 本题考查了平移的性质，利用了平移的性质，全等三角形的判定与性质．