Question

如图，已知BD垂直平分AC，连接AB，BC，CD，AD，以AD为边作△ADF，∠ADF=∠BCD，AF⊥AC．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AE的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得；
（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得AE的长度．

解答：（1）证明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，

AB=BC AD=DC DB=DB

，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠BCD=∠BAD．
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，
∴AB=BD=5．
∵AD=6，
设BE=x，则DE=5-x，
∴AB²-BE²=AD²-DE²，即5²-x²=6²-（5-x）²
解得：x=

7

5

，
∴AE=

AB2-BE2

=

24

5

．

点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．