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【题目】如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连接AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)证明:△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.

【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=AB,

∵∠1=∠2,∠3=∠4,

∴△ABE≌△DAF.


(2)解:∵四边形ABCD是正方形,∠AGB=30°,

∴AD∥BC,

∴∠1=∠AGB=30°,

∵∠1+∠4=∠DAB=90°,

∵∠3=∠4,

∴∠1+∠3=90°,

∴∠AFD=180°﹣(∠1+∠3)=90°,

∴DF⊥AG,

∴DF= AD=1,

∴AF=

∵△ABE≌△DAF,

∴AE=DF=1,

∴EF= ﹣1.

故所求EF的长为 ﹣1


【解析】(1)根据已知及正方形的性质,利用ASA即可判定△ABE≌△DAF;(2)根据正方形的性质及直角三角形的性质可得到DF的长,根据勾股定理可求得AF的长,从而就不难求得EF的长.
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

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