【题目】如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连接AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)证明:△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.
【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴△ABE≌△DAF.
(2)解:∵四边形ABCD是正方形,∠AGB=30°,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠AGB=30°,
∵∠1+∠4=∠DAB=90°,
∵∠3=∠4,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠AFD=180°﹣(∠1+∠3)=90°,
∴DF⊥AG,
∴DF= AD=1,
∴AF= ,
∵△ABE≌△DAF,
∴AE=DF=1,
∴EF= ﹣1.
故所求EF的长为 ﹣1
【解析】(1)根据已知及正方形的性质,利用ASA即可判定△ABE≌△DAF;(2)根据正方形的性质及直角三角形的性质可得到DF的长,根据勾股定理可求得AF的长,从而就不难求得EF的长.
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
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【题目】如图,在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,、正方形、正方形的顶点均在格点上.
(1)以格点为原点,建立合适的平面直角坐标系,使得、坐标分别为、,则点的坐标为______,点的坐标为_______;
(2)利用面积计算线段________;
(3)点为直线上一动点,求的最小值.
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【题目】已知,抛物线y=ax2+bx+4 与x轴交于点A(﹣3,0)和B(2,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点D为CB的中点,将线段DB绕点D旋转,点B的对应点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求点G的坐标;
(3)如图2,若点D为直线BC或直线AC上的一点,E为x轴上一动点,抛物线
y=ax2+bx+4对称轴上是否存在点F,使以B,D,F,E为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色不同外,其它都一样),其中红球2个,蓝球1个,现在从中任意摸出一个红球的概率为 .
(1)求袋中黄球的个数;
(2)第一次摸出一个球(不放回),第二次再摸出一个球,请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率.
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【题目】列方程(组)解应用题
《九章算术》是中国古代第一部数学专著,也是世界上最早的印刷本数学书它的出现标志着中国古代数学体系的形成.《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本.书中有如下问题:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?
大意是:有几个人一起去买一件物品,如果每人出8元,则多了3元;如果每人出7元,则少了4元钱,问有多少人?该物品价值多少元?
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【题目】如图①,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于点D.点P为线段CD上一点(不与端点C、D重合),PE⊥PA,PE与BC的延长线交于点E,与AC交于点F,连接AE、AP、BP.
(1)求证:AP=BP;
(2)求∠EAP的度数;
(3)探究线段EC、PD之间的数量关系,并证明.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=200°,作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作,作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作,作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作,…,则第5次操作后∠CO5D的度数是_____.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C为圆上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD=3,AC=6,求图中阴影部分面积.
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