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【题目】已知,抛物线y=ax2+bx+4 与x轴交于点A(﹣3,0)和B(2,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点D为CB的中点,将线段DB绕点D旋转,点B的对应点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求点G的坐标;

(3)如图2,若点D为直线BC或直线AC上的一点,E为x轴上一动点,抛物线

y=ax2+bx+4对称轴上是否存在点F,使以B,D,F,E为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:∵抛物线y=ax2+bx+4 与x轴交于点A(﹣3,0)和B(2,0),

,解得

∴抛物线解析式为y=﹣ x2 x+4


(2)解:由(1)可知抛物线的对称轴为x=﹣

∴可设点G的坐标为(﹣ ,y),

∵点D是BC的中点,

∴点D的坐标为(1,2),

在Rt△OBC中,BC= =2

∴DB= BC=

由旋转的性质可知,DG=DB,

∴(﹣ ﹣1)2+(y﹣2)2=5,解得:y=2+ 或y=2﹣

∴点G的坐标为(﹣ ,2+ )或(﹣ ,2﹣


(3)解:①当BE为对角线时,因为菱形的对角线互相垂直平分,所以此时D即为对称轴与AC的交点,F为点D关于x轴的对称点,

设直线AC解析式为y=kx+b,

∵C(0,4),A(﹣3,0)

,解得

∴直线AC解析式为y= x+4,

∴当 时,

∴D

∴F

②当BE为菱形的边时,有DF∥BE

I)当点D在直线BC上时,可求得直线BC解析式为y=﹣2x+4,

设D(a,﹣2a+4),则点F

∵四边形BDFE是菱形,

∴FD=DB,

,解得

∴F

II)当点D在直线AC上时,

设D ,则点F

∵四边形BFDE是菱形,

∴FD=FB,

∴(a+ 2=(2+ 2+( a+4)2,解得:a1=﹣3(舍去),

∴F

综上所述,点F的坐标分别为


【解析】(1)把A、B两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值,可求得抛物线解析式;(2)可设出G点坐标,利用旋转的性质可求得DG=DB,从而可列出方程,可求得G点坐标;(3)分BE为对角线和BE为边两种情况,①当BE为对角线时,则可知BE⊥DF,可知D为对称轴与直线AC的交点,F为D点关于x轴的对称点,可先求得直线AC的解析式,可求得D点坐标,则容易求得F点坐标;②当BE为边时,可利用直线BC或直线AC的解析式设出点D的坐标,从而可表示出F点的坐标,再利用菱形的性质可列出方程,从而可求得F点的坐标.

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