Question

19．已知Rt△ABC在平面直角坐标系中如图所示，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D．
（1）求线段OA的长及点D的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结 BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC是等腰直角三角形，则△AOD也是等腰直角三角形，得出OD=OA，则D（0，m-3），AO=AC-OC=m-3；
（2）利用P（1，0）为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；
（3）设Q（x，x²-2x+1），过Q点分别作x轴，y轴的垂线，运用相似比求出FC、EC的长，而AC=m，代入即可．

解答 （1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，
可得AC=BC=m，OA=m-3，
∵∠ODA=∠OAD=45°
∴OD=OA=m-3，
则点D的坐标是（0，m-3）；

（2）解：∵抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a（3-1）^{2}=m}\\{a（0-1）^{2}=m-3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{m=4}\end{array}\right.$
故抛物线的解析式为y=x²-2x+1；

（3）证明：如图所示：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（x，x²-2x+1），
则QM=CN=（x-1）²，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴$\frac{QM}{EC}$=$\frac{PM}{PC}$
即$\frac{（x-1）^{2}}{EC}$=$\frac{x-1}{2}$，得EC=2（x-1）
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴$\frac{QN}{FC}$=$\frac{BN}{BC}$
即$\frac{3-x}{FC}$=$\frac{4-（x-1）^{2}}{4}$，得FC=$\frac{4}{x+1}$
又∵AC=4
∴FC（AC+EC）=$\frac{4}{x+1}$[4+2（x-1）]=$\frac{4}{x+1}$（2x+2）=$\frac{4}{x+1}$×2×（x+1）=8
即FC（AC+EC）为定值8．

点评 本题考查了点的坐标、抛物线解析式的求法、综合运用相似三角形的比求线段的长度，本题也可以先求直线PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的长．