Question

1．如图，正方形OABC顶点AC分别在x轴y轴正半轴上A（m，0）且m是分式方程$\frac{2}{x}$=$\frac{3}{x+1}$的解，OB=$\sqrt{2}$OA．
（1）求正方形OABC的面积；
（2）作OD平分∠AOB交AB于D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，过A作AE⊥OD于E，求$\frac{AE+DE}{OD}$．

Answer 1

分析 （1）通过解分式方程求得m的值，易求正方形的边长，根据正方形的面积公式进行解答；
（2）利用角平分线的性质来求点D的坐标；
（3）由勾股定理来求OD的长度，利用面积法来求AE的长度，然后再由勾股定理来求DE的长度．

解答 解：（1）分式方程$\frac{2}{x}$=$\frac{3}{x+1}$得到：x=2．
经检验x=2是原方程的解，
所以A（0，2），
则OA=OC=2，
所以正方形OABC的面积是：2×2=4；

（2）设D（2，a）．则AD=a，BD=2-a．
∵OD平分∠AOB
∴$\frac{OA}{AD}$=$\frac{OB}{BD}$，即$\frac{2}{a}$=$\frac{\sqrt{2}×2}{2-a}$，
解得a=$\sqrt{2}$-1．
故D（2，2$\sqrt{2}$-2）．

（3）由（2）知，D（2，2$\sqrt{2}$-2）．则由勾股定理得到OD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}-2）^{2}}$=2$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$．
由$\frac{1}{2}$OD•AE=$\frac{1}{2}$OA•AD得到：AE=$\frac{OA•AD}{OD}$=$\frac{2×（2\sqrt{2}-2）}{2\sqrt{4-2\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2-\sqrt{2}}$．
在直角△AED中，由勾股定理得到：DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}-2）^{2}-2+\sqrt{2}}$=$\sqrt{10-7\sqrt{2}}$，
所以$\frac{AE+DE}{OD}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{10-7\sqrt{2}}}{2\sqrt{4-2\sqrt{2}}}$=$\frac{\sqrt{（2-\sqrt{2}）（4-2\sqrt{2}）}+\sqrt{（10-7\sqrt{2}）（4-2\sqrt{2}）}}{2（4-2\sqrt{2}）}$=$\frac{（\sqrt{2}-1）+（3-2\sqrt{2}）}{2（2-\sqrt{2}）}$=$\frac{1}{2}$．即$\frac{AE+DE}{OD}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了四边形综合题，需要学生掌握正方形的性质，勾股定理，角平分线性质定理以及二次根式的化简．该题的计算量比较大，需要学生细心计算．