Question

【题目】已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证CT=BE

．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

过T作TF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得TF=CT，再根据角平分线的定义和等角的余角相等的性质得到∠CDT=∠CTD，所以CD=CT，再证明△CDE和△TFB全等，然后根据全等三角形对应边相等可以得到CE=TB，都减去TE即可得到CT=BE．

证明：过T作TF⊥AB于F，

∵AT平分∠BAC，∠ACB=90°，

∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵∠ACB=90°，CM⊥AB，

∴∠ADM+∠DAM=90°，∠ATC+∠CAT=90°，

∵AT平分∠BAC，

∴∠DAM=∠CAT，

∴∠ADM=∠ATC，

∴∠CDT=∠CTD，

∴CD=CT，

又∵CT=TF（已证），

∴CD=TF，

∵CM⊥AB，DE∥AB，

∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，

在△CDE和△TFB中，

,

∴△CDE≌△TFB（AAS），

∴CE=TB，

∴CE-TE=TB-TE，

即CT=BE．