Question

如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）判断△ODE的形状；
（2）如果AC=4，求CE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,等边三角形的判定,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）△ODE是等边三角形，欲证明△ODE是等边三角形，只需证得∠DOE=60°；
（2）通过相似三角形△CDE∽△CBA的对应边成比例来求CE的长度．

解答：解：（1）△ODE是等边三角形，理由如下：
∵∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°-∠C=120°，³
而OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠1，∠B=∠5，
∴∠2=180°-2∠A，∠4=180°-2∠B，
∴∠2+∠3+∠4=360°-2（∠A+∠B）+∠3=180°，
则∠3=60°．
又OD=OE，
∴△ODE是等边三角形；

（2）∵由（1）知，△ODE是等边三角形，
∴DE=DO，
∴DE=

1

2

AB．
∵∠C=∠C，∠CDE=∠CBA，
∴△CDE∽△CBA，
∴

CE

CA

=

DE

BA

=

1

2

，
∴CE=

1

2

CA=

1

2

×4=2．

点评：本题综合考查了等边三角形的判定，圆周角，相似三角形的判定与性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．