【题目】如图是某导弹发射车在山顶A处进行射击训练的示意图,点A在y轴上,与原点O的距离是8百米(为了计算方便,我们把本题中的距离用百米作单位).此导弹发射车在A处进行某个角度的射击训练,点M是导弹向右上射出后某时刻的位置.忽略空气阻力,实验表明:导弹射出t秒时,点M,A的水平距离是vt百米,点M与x轴(水平)的竖直距离是(8+vt﹣5t2)百米(v的值由发射者设定).在点A和x轴上的点B处观测射击目标P的仰角分别是a和β,OB=3百米,tanα=.tanβ=.
(1)若v=7,完成下列问题:
①当点M,A的水平距离是7百米时,点M到x轴的距离是 百米;
②设点M坐标为(x,y),求y与x的关系式(不必写x的取值范围).
(2)按(1)的射击方式,能否命中目标P?请说明理由.
(3)目标以m百米/秒的速度从点P向右移动,当v时,若能使目标被击中,求m的取值范围.
【答案】(1)①10;②y=﹣;(2)能,理由见解析;(3)0<m≤.
【解析】
(1)①根据水平距离是7百米可知:vt=7,将v=7代入得t=1,再代入点M与x轴(水平)的竖直距离是(8+vt﹣5t2)百米中,可得结论;
②根据点M坐标为(x,y),与已知点M(vt,8+vt﹣5t2)(v=7),列方程组可得结论;
(2)计算点P的坐标,代入抛物线的解析式,符合则能命中目标P;
(3)由(2)知:7≤v≤6,将v的最大值代入M的横纵坐标中表示:y与x的关系式,由(2)知:P(7,10),不论P怎样向右平移,点P的纵坐标不变,都是10,代入可得x的值,计算时间,从而得结论.
(1)①当v=7时,vt=7,
∴7t=7,t=1,
∴8+vt﹣5t2=8+7×1﹣5×12=15﹣5=10,
故答案为:10;
②∵点M坐标为(x,y),
由题意得:M(vt,8+vt﹣5t2)(v=7),
∴,
∴t=x,
∴y=﹣;
(2)能,理由如下,
作PC⊥x轴于点C,AD⊥PC于点D,如图所示,
设OC=AD=a,则BC=a﹣3,
由tanα=,tanβ=,得:PD=a,PC=(a﹣3),
而PC﹣PD=8,即(a﹣3)﹣a=8,
解得:a=7,则PC=×(7﹣3)=10,
∴点P的坐标为(7,10),
当x=7时,y=﹣=10,
∴抛物线过点P,即能命中目标P;
(3)由题意得:v的值越大,炮弹向右射的越远,且能越快追上目标,
由(2)知:7≤v≤6,
当v=6时,x=6t,y=8+6t﹣5t2,则y=﹣x2+x+8,
∵目标向右移动,y=10,即﹣x2+x+8=10,
解得:x1=12,x2=(舍),
∴当y=10时,炮弹向右最远射出12百米,用时: ==(秒),
∴m≤12﹣7,即m≤,
∴0<m≤.
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【题目】如图,曲线AB是顶点为B,与y轴交于点A的抛物线y=﹣x2+4x+2的一部分;曲线BC是双曲线y=的一部分.由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程,形成一组波浪线,点P(2018,m)与Q(2026,n)均在该抛物线上,则m+n=_____.
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【题目】如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A点测得C点的仰角为45°,从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20m,点C和直线AB在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留根号).
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【题目】如图,△ABC和△DEF都是直角三角形,∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE,顶点F在BC上,边DF经过点C,点A,E在BC同侧,DE⊥AB.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若AC=11,EF=6,CF=4,求BD的长.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD于点E,DA平分∠BDE
(Ⅰ)求证:AE是⊙O的切线;
(Ⅱ)若∠DBC=30°,DE=1 cm,求BD的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动(不与点A,B重合);同时点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动(不与点C、D重合),经过几秒,△PDQ为直角三角形?说明理由.
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【题目】如图,AB与CD都是垂直于地面BC的建筑物.在建筑物AB的顶点A处测得建筑物CD的底端C的俯角为24°,测得顶端D的仰角为36°,若AC=200米,AD=300米,求建筑物CD的高度.(结果保留根号)
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