【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动(不与点A,B重合);同时点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动(不与点C、D重合),经过几秒,△PDQ为直角三角形?说明理由.
【答案】经过2s或s或s时,△DPQ为直角三角形,理由见解析
【解析】
根据题意分当∠DPQ=90°时或当∠DQP=90°时两种情况进一步分析讨论即可.
解:经过2s或s或s时,△DPQ为直角三角形,理由如下:
∵点P不与点A重合,
∴∠PDQ≠90°,
∴△DPQ为直角三角形分两种情况,设运动时间为x秒,
当∠DPQ=90°时,△DPQ为直角三角形,
过点Q作QM⊥AB于M,如图所示:
则四边形BCQM为矩形,
∴AP=3xcm,BM=CQ=2xcm,则PM=(16﹣5x)cm,DQ=(16﹣2x)cm,
∴(16﹣5x)2+62+(3x)2+62=(16﹣2x)2,
解得:x1=2,x2=;
②当∠DQP=90°时,AP+CQ=16,
所以3x+2x=16,
解得:x=,
综上可知:经过2s或s或s时,△DPQ为直角三角形.
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【题目】某公司推销一种产品,公司付给推销员的月报酬有两种方案如图所示:其中方案所示图形是顶点在原点的抛物线的部分,方案二所示的图形是射线, 设推销员销售产品的数量为(件),付给推销员的月报酬为(元),
(1)请直接写出两种方案中关于的函数关系式:方案一: ,方案二: ;
(2)当销售量达到多少件时,两种方案的月报酬差额将达到元?
(3)若公司决定改进“方案二”:基本工资元,每销售件产品再增加报酬元,当推销员销售量达到件时,方案二的月报酬不低于方案一的月报酬,求的取值范围
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【题目】如图,已知△ABC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,点E为弧AD的中点,连接CE交AB于点F,且BF=BC.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,=,求CE的长.
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【题目】如图是某导弹发射车在山顶A处进行射击训练的示意图,点A在y轴上,与原点O的距离是8百米(为了计算方便,我们把本题中的距离用百米作单位).此导弹发射车在A处进行某个角度的射击训练,点M是导弹向右上射出后某时刻的位置.忽略空气阻力,实验表明:导弹射出t秒时,点M,A的水平距离是vt百米,点M与x轴(水平)的竖直距离是(8+vt﹣5t2)百米(v的值由发射者设定).在点A和x轴上的点B处观测射击目标P的仰角分别是a和β,OB=3百米,tanα=.tanβ=.
(1)若v=7,完成下列问题:
①当点M,A的水平距离是7百米时,点M到x轴的距离是 百米;
②设点M坐标为(x,y),求y与x的关系式(不必写x的取值范围).
(2)按(1)的射击方式,能否命中目标P?请说明理由.
(3)目标以m百米/秒的速度从点P向右移动,当v时,若能使目标被击中,求m的取值范围.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+c的顶点(0,5),且过点(﹣3,),先求抛物线的解析式,再解决下列问题:
(应用)问题1,如图2,线段AB=d(定值),将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后,设A、B两点的距离为x,由A、B、C三点组成图形面积为S,且S与x的函数关系如图所示(抛物线y=ax2+bx+c上MN之间的部分,M在x轴上):
(1)填空:线段AB的长度d= ;弯折后A、B两点的距离x的取值范围是 ;若S=3,则是否存在点C,将AB分成两段(填“能”或“不能”) ;若面积S=1.5时,点C将线段AB分成两段的长分别是 ;
(2)填空:在如图1中,以原点O为圆心,A、B两点的距离x为半径的⊙O;画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象(线段);设圆心O到该函数图象的距离为h,则h= ,该函数图象与⊙O的位置关系是 .
(提升)问题2,一个直角三角形斜边长为c(定值),设其面积为S,周长为x,证明S是x的二次函数,求该函数关系式,并求x的取值范围和相应S的取值范围.
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【题目】某校开展阳光体育活动,每位同学从篮球、足球、乒乓球和羽毛球四项体育运动项目中选择自己最喜欢的一项训练.学校体育组对八年级(1)班、(2)班同学参加体育活动的情况进行了调查,结果如图所示:
(1)求八年级(2)班参加体育运动的人数,并把扇形统计图和折线统计图补充完整.
(2)今年重庆5月开展中学生“阳光体育”技能大赛. 学校打算从八年级(1)、(2)选派两个优秀体育运动项目去参赛.产生的办法是这样的:先组织八年级(1)班和(2)班的相同项目的兴趣小组对决产生一个优胜队,然后学校从产生出的四个优胜队中随机抽取两个队代表学校参赛.请你用列表法或画树形图求选派两队恰好是乒乓球队和篮球队的概率.
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【题目】如图示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.
①求证:△DAE≌△DCF;
②求证:△ABG∽△CFG.
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