Question

18．如图所示，在?ABCD中，E为AD的中点，△CBE是等边三角形，求证：?ABCD是矩形．

Answer 1

分析 根据平行四边形性质得出AD=BC，AD∥BC，AB=DC，得出∠D+∠C=180°，根据SSS证△ABE≌△DCE，推出∠A=∠D，求出∠D=90°，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=DC，
∴∠D+∠A=180°，
∵E是AD边的中点，
∴AE=DE，
∵△CBE是等边三角形，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SSS），
∴∠A=∠D，
∵∠D+∠A=90°，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴?ABCD是矩形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出∠A=∠D是解决问题的关键．