Question

13．如图，等腰直角△ACB，CA=CB，∠ACB=90°，∠ECF=45°，点E、F在AB上，AM⊥AB，BN⊥AB，AM、BN分别交直线CE、CF于M、N，若AM=2，BN=5，则MN的长为$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到∠6=45°，推出∠5=∠ACF，证得△ACF∽△BCE，根据相似三角形的性质得到AC•BC=AF•BE，根据已知条件得到∠CAM=∠CBN=135°，推出△ACM∽△CBN，根据相似三角形的性质得到AC•BC=AM•BN=10，过M作MG⊥BN于G，则四边形ABGM是矩形，根据矩形的性质得到MG=AB，BG=AM=2，由于AB²=AC²+BC²=2AC²=2AC•BC=20，得到MG²=20，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠6=45°，
∵∠5=∠6+∠1=45°+∠1，∠ACF=∠1+∠2=∠1+45°，
∴∠5=∠ACF，
∵∠6=∠ABC=45°，
∴△ACF∽△BCE，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{AF}{BC}$，
∴AC•BC=AF•BE，
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴∠ABN=90°，
∴∠CAM=∠CBN=135°，
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵∠1+∠4=45°，
∴∠1=∠4，
∴△ACM∽△CBN，
∴$\frac{AC}{BN}=\frac{AM}{BC}$，
∴AC•BC=AM•BN=10，
过M作MG⊥BN于G，
则四边形ABGM是矩形，
∴MG=AB，BG=AM=2，
∴NG=3，
∵AB²=AC²+BC²=2AC²=2AC•BC=20，
∴MG²=20，
∴MN=$\sqrt{A{B}^{2}-G{N}^{2}}$=$\sqrt{11}$．
故答案为：$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．