Question

16．对于每个正整数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₆B₂₀₁₆|的值是（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2017}{2016}$
• C． $\frac{2015}{2017}$
• D． $\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 通过解方程（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0得A、B点的坐标，从而得到|A_nB_n|=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再表示计算出|A₁B₁|、|A₂B₂|、|A₂₀₁₆B₂₀₁₆|，然后计算它们的和即可．

解答 解：当y=0时，（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0，解得x₁=$\frac{1}{n}$，x₂=$\frac{1}{n+1}$，则A、B点的坐标为（$\frac{1}{n}$，0），（$\frac{1}{n+1}$，0），
则|A_nB_n|=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
所以|A₁B₁|=1-$\frac{1}{2}$；|A₂B₂|=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；|A₃B₃|=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；|A₂₀₁₆B₂₀₁₆|=$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$，
所以|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₆B₂₀₁₆|=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故选D．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．