Question

【题目】在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、

AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC=x，=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．

【解析】

(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.

(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.

(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.

解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴CO==3，

∴OD=5，

∴CD=OD﹣OC=2；

（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，

则由（1）可得AH=4，OH=3，

∵AC=x，

∴CH=|x﹣4|，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴CO===，

∴CD=OD﹣OC=5﹣，

过点DG⊥AB于G，

∵OH⊥AB，

∴DG∥OH，

∴△OCH∽△DCG，

∴，

∴DG==，

∴S△ACO=AC×OH=x×3=x，

S△BOD=BC（OH+DG）=（8﹣x）×（3+）=（8﹣x）×

∴y===（0＜x＜8）

（3）①当OB∥AD时，如图3，

过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD，垂足为点F，

则OF=AE，

∴S=ABOH=OBAE，

AE===OF，

在Rt△AOF中，∠AFO=90°，AO=5，

∴AF==

∵OF过圆心，OF⊥AD，

∴AD=2AF=．

②当OA∥BD时，如图4，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，

则由①的方法可得DG=BM=，

在Rt△GOD中，∠DGO=90°，DO=5，

∴GO==，AG=AO﹣GO=，

在Rt△GAD中，∠DGA=90°，

∴AD==6

综上得AD=或6．

故答案为：（1）2；（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．