【题目】已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,O是坐标原点,点A的坐标是(﹣1,0),点C的坐标是(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数;
(3)P为线段BC上一点,连接AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求点P的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)45°;(3)P(,﹣
).
【解析】
试题(1)直接将A,C点坐标代入抛物线解析式求出即可;
(2)首先求出B点坐标,进而利用待定系数法求出直线BC的解析式,进而利用CO,BO的长求出∠ABC的度数;
(3)利用∠ACB=∠PAB,结合相似三角形的判定与性质得出BP的长,进而得出P点坐标.
解:(1)将点A的坐标(﹣1,0),点C的坐标(0,﹣3)代入抛物线解析式得:
,
解得:,
故抛物线解析式为:y=x2﹣2x﹣3;
(2)由(1)得:0=x2﹣2x﹣3,
解得:x1=﹣1,x2=3,故B点坐标为:(3,0),
设直线BC的解析式为:y=kx+d,
则,
解得:,
故直线BC的解析式为:y=x﹣3,
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴BO=OC=3,
∴∠ABC=45°;
(3)过点P作PD⊥x轴于点D,
∵∠ACB=∠PAB,∠ABC=∠PBA,
∴△ABP∽△CBA,
∴=
,
∵BO=OC=3,
∴BC=3,
∵A(﹣1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴=
,
解得:BP=,
由题意可得:PD∥OC,
∴DB=DP=,
∴OD=3﹣=
,
则P(,﹣
).
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【题目】在△ABC中,AB=17,BC=21,AC=10,动点P从点C出发,沿着CB运动,速度为每秒3个单位,到达点B时运动停止,设运动时间为t秒,请解答下列问题:
(1)求BC上的高;
(2)当t为何值时,△ACP为等腰三角形?
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【题目】A、B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg,A型机器人搬运900kg与B型机器人搬运600kg所用时间相等,两种机器人每小时分别搬运多少化工原料?
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【题目】在△ABC和△DCE中,CA=CB,CD=CE,∠CAB= ∠CED=α.
(1)如图1,将AD、EB延长,延长线相交于点0.
①求证:BE= AD;
②用含α的式子表示∠AOB的度数(直接写出结果);
(2)如图2,当α=45°时,连接BD、AE,作CM⊥AE于M点,延长MC与BD交于点N.求证:N是BD的中点.
注:第(2)问的解答过程无需注明理由.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF=DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.
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【题目】如下图所示,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成,第二次将
变换成
,第三次将
变换成
,已知
,
,
,
,
,
,
.
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此规律再将变换成
,则
的坐标为 ,
的坐标为 .
(2)可以发现变换过程中……
的纵坐标均为 .
(3)按照上述规律将△OAB进行n次变换得到,则可知
的坐标为 ,
的坐标为 .
(4)线段的长度为 .
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,点E是BC边上一动点,联结AE,过点E作AE的垂线交直线CD于点F.已知AD=4cm,CD=2cm,BC=5cm,设BE的长为xcm,CF的长为ycm.
小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 |
y/cm | 2.5 | 1.1 | 0 | 0.9 | 1.5 | 1.9 | 2 | 1.9 |
| 0.9 | 0 |
(说明:补全表格时相关数据保留一位小数)
(2)建立直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:当BE=CF时,BE的长度约为 cm.
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【题目】甲从商贩A处购买了若干斤西瓜,又从商贩B处购买了若干斤西瓜.A、B两处所购买的西瓜重量之比为3:2,然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙,结果发现他赔钱了,这是因为( )
A. 商贩A的单价大于商贩B的单价
B. 商贩A的单价等于商贩B的单价
C. 商版A的单价小于商贩B的单价
D. 赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
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