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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC相交于点D,且CD=2,BC=4,

(1)求⊙O的半径;

(2)连接AD并延长,交BC于点E,取BE的中点F,连接DF,试判断DF与⊙O的位置关系,并说明理由.

【答案】(1)3;(2)DF与⊙O相切;理由见解析

【解析】

(1)设⊙O的半径为R,由切线的性质得出∠OBC=90°,由勾股定理得出方程,解方程即可;

(2)连接BD,由等腰三角形的性质得出∠OBD=ODB,由圆周角定理得出∠ADB=90°,求出∠BDE=90°,由直角三角形的性质得出DF=BE=BF,得出∠DBF=BDF,证出∠BDF+ODB=90°,即可得出结论.

(1)设⊙O的半径为R,

BC是⊙O的切线,

∴∠OBC=90°,

OB2+BC2=OC2

R2+42=(R+2)2

解得:R=3,

即⊙O的半径为3

(2DF与⊙O相切;理由如下: 如图所示:连接BD,

OB=OD,

∴∠OBD=ODB,

AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠BDE=90°,

FBE的中点,

DF=BE=BF,

∴∠DBF=BDF,

∵∠DBF+OBD=90°,

∴∠BDF+ODB=90°,

DFOD,

DF与⊙O相切.

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