【题目】如图,正方形ABCD的边长为10,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,AH⊥EF于点H,AH=10,连接BD,分别交AE、AH、AF于点P、G、Q.
(1)求△CEF的周长;
(2)若E是BC的中点,求证:CF=2DF;
(3)连接QE,求证:AQ=EQ.
【答案】(1)△ECF的周长为20;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)想办法证明EB=EH,FD=FH,即可解决问题;
(2)通过计算求出CF、DF即可解决问题;
(3)想办法证明△APB∽△QPE,可得∠AEQ=∠ABP=45°即可解决问题.
(1)在Rt△ABE和Rt△AHE中,
∵∠ABE=∠AHE=90°,AB=AH=10,AE=AE,
∴△ABE≌△AHE,
∴BE=HE,同理,DF=FH,
∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20.
(2)∵E是BC中点,
∴BE=EC=EH=5,设DF=FH=x,则CF=10﹣x,
在Rt△ECF中,∵∠C=90°,
∴EF2=EC2+CF2,
∴52+(10﹣x)2=(5+x)2,
解得x=,即DF=,则CF=10﹣=,
∴CF=2DF;
(3)在△BPE和△APQ中,∠EBP=∠QAP=45°,∠BPE=∠APQ,
∴△BPE∽△APQ,
∴=,
即=,
∵∠APB=∠QPE,
∴△APB∽△QPE,
∴∠QEP=∠ABP=45°,
∵∠EAF=45°,
∴∠QEA=∠QAE=45°,
∴AQ=EQ.
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【题目】等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.
(1)若AE=CF;
①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;
②若AE=2,试求APAF的值;
(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC相交于点D,且CD=2,BC=4,
(1)求⊙O的半径;
(2)连接AD并延长,交BC于点E,取BE的中点F,连接DF,试判断DF与⊙O的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中AC=BC,∠ACB=90°,以BC为直径作⊙O,连接OA,交⊙O于点D,过D点作⊙O的切线交AC于点E,连接B、D并延长交AC于点F.则下列结论错误的是( )
A. △ADE∽△ACO B. △AOC∽△BFC
C. △DEF∽△DOC D. CD2=DFDB
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 .
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【题目】(1)如图1.在△ABC中,∠B=60°,∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O,则∠O= °,
(2)如图2,若∠B=α,其他条件与(1)相同,请用含α的代数式表示∠O的大小;
(3)如图3,若∠B=α,,则∠P= (用含α的代数式表示).
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【题目】如图,中,点是边上一个动点,过作直线,交的平分线于点,交的外角平分线于点.
请说明:;
当点在边上运动到何处时,四边形是矩形?为什么?
在的条件下,满足什么条件时,四边形是正方形?为什么?
当点在边上运动时,四边形可能是菱形吗?请说明理由.
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【题目】已知:正方形ABCD中,AB=4,E为CD边中点,F为AD边中点,AE交BD于G,交BF于H,连接DH.
(1)求证:BG=2DG;
(2)求AH:HG:GE的值;
(3)求的值.
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【题目】如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE,若S△ABC=18,设△ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,则S1-S2的值是______.
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