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【题目】如图,正方形ABCD的边长为10,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,AHEF于点H,AH=10,连接BD,分别交AE、AH、AF于点P、G、Q.

(1)求CEF的周长;

(2)若EBC的中点,求证:CF=2DF;

(3)连接QE,求证:AQ=EQ.

【答案】(1)ECF的周长为20;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】

(1)想办法证明EB=EH,FD=FH,即可解决问题;

(2)通过计算求出CF、DF即可解决问题;

(3)想办法证明APB∽△QPE,可得∠AEQ=ABP=45°即可解决问题.

(1)在RtABERtAHE中,

∵∠ABE=AHE=90°,AB=AH=10,AE=AE,

∴△ABE≌△AHE,

BE=HE,同理,DF=FH,

∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20.

(2)EBC中点,

BE=EC=EH=5,设DF=FH=x,则CF=10﹣x,

RtECF中,∵∠C=90°,

EF2=EC2+CF2

52+(10﹣x)2=(5+x)2

解得x=,即DF=,则CF=10﹣=

CF=2DF;

(3)在BPEAPQ中,∠EBP=QAP=45°,BPE=APQ,

∴△BPE∽△APQ,

=

=

∵∠APB=QPE,

∴△APB∽△QPE,

∴∠QEP=ABP=45°,

∵∠EAF=45°,

∴∠QEA=QAE=45°,

AQ=EQ.

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