【题目】等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.
(1)若AE=CF;
①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;
②若AE=2,试求APAF的值;
(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.
【答案】(1)①见解析;②12;(2)或3.
【解析】
试题分析:(1)①证明△ABE≌△CAF,借用外角即可以得到答案;②利用勾股定理求得AF的长度,再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值,即可以得到答案.
(2)当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,继而求得半径和对应的圆心角的度数,求得答案.点F靠近点B时,点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度;
(1)①证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,
,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°.
②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,
∴,即,所以APAF=12
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.
①当AE=CF时,点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,
∴∠AOB=120°,
又∵AB=6,
∴OA=,
点P的路径是.
②当AE=BF时,点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为:.
所以,点P经过的路径长为或3.
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【题目】某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元,为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件,若商场平均每天盈利2100元,每件衬衫应降价多少元?请完成下列问题:
(1)未降价之前,某商场衬衫的总盈利为 元.
(2)降价后,设某商场每件衬衫应降价x元,则每件衬衫盈利 元,平均每天可售出 件(用含x的代数式进行表示)
(3)请列出方程,求出x的值.
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【题目】某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨,每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元,每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x(吨),生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元).
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该厂能获得的A原料至多为1000吨,其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.
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【题目】已知,如图,在△ABC中,∠A=∠ABC,直线EF分别交△ABC的边AB,AC和CB的延长线于点D,E,F.
(1)求证:∠F+∠FEC=2∠A;
(2)过B点作BM∥AC交FD于点M,试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC上,且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.
(1)如图1,当DE=DF时,图1中是否存在于AB相等的线段?若存在,请找出并加以证明.若不存在说明理由.
(2)如图2,当DE=kDF(其中0<k<1)时,若∠A=90°,AF=m,求BD的长(用含k,m的式子表示).
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【题目】小明骑自行车从甲地到乙地,图中的折线表示小明行驶的路程与所用时间之间的函数关系.试根据函数图像解答下列问题:
(1)小明在途中停留了____,小明在停留之前的速度为____;
(2)求线段的函数表达式;
(3)小明出发1小时后,小华也从甲地沿相同路径匀速向乙地骑行,时,两人同时到达乙地,求为何值时,两人在途中相遇.
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【题目】某日上午点钟,市气象局测得在城市正东方向处点有一台风中心正在以千米/时的速度沿西偏北的方向迅速移动(如图所示).据资料表明,在距离台风中心范围内为严重影响区域(假定台风中心移动方向不变,影响力不变).(参考数据:,).
(1)市会不会受这次台风的严重影响,为什么;
(2)如果市会受严重影响,那么这次台风对市严重影响多长时间?
(3)市规定台风严重影响前一小时向市民发出预警警报.如果市会受这次台风严重影响,那么市应在几点钟发出预警警报?
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为10,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,AH⊥EF于点H,AH=10,连接BD,分别交AE、AH、AF于点P、G、Q.
(1)求△CEF的周长;
(2)若E是BC的中点,求证:CF=2DF;
(3)连接QE,求证:AQ=EQ.
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