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【题目】如图,在△ABC中,点DEF分别在ABBCAC上,且∠ADF+∠DEC=180°∠AFE=∠BDE

1)如图1,当DE=DF时,图1中是否存在于AB相等的线段?若存在,请找出并加以证明.若不存在说明理由.

2)如图2,当DE=kDF(其中0<k<1)时,若∠A=90°AF=m,求BD的长(用含km的式子表示).

【答案】1)存在,AB=BE,理由见解析;(2BD=

【解析】试题(1)存在,AB=BE,理由如下:

延长BAEF交于点G,连接AE,由已知可得∠EDG∠AFG,又∠G∠G为公共角,从而可得△GAF∽△GED,所以,又∠G∠G,从而可得△GAE∽△GFD,所以有∠ADF∠AEF,由∠ADF+∠DEC=180°∠DEC+∠BED=180°,可得∠AEF∠DEB,从而得∠BEA=∠DEF,由于DE=DF,可得∠DEF=∠DFE,从而可得∠DAE=∠BEA,继而得AB=EB

2)连接AE,由(1)知,∠AEF=∠DEB∠AFE=∠BDE,从而可得△EDB∽△EFA,继而可得∠B=∠EAF,由∠BAC=90°,从而可得∴∠AEB=90°继而可得∠DEF=90°,由DE=kDF,可得EF=DF,从而可得BD=

试题解析:(1)存在,AB=BE,理由如下:

延长BAEF交于点G,连接AE∵∠BDE+∠EDG=180°∠AFE+∠AFG=180°∠AFE∠BDE∴∠EDG∠AFG,又∵∠G∠G∴△GAF∽△GED,,又∵∠G∠G∴△GAE∽△GFD,∴∠ADF∠AEF∵∠ADF+∠DEC=180°∠DEC+∠BED=180°∴∠AEF∠DEB∴∠BEA=∠DEF∵DE=DF∴∠DEF=∠DFE∵∠DAE=∠G+∠AEF∠DFE=∠G+∠ADF∴∠DAE=∠BEA∴AB=EB

2)连接AE,由(1)知,∠AEF=∠DEB∠AFE=∠BDE∴△EDB∽△EFA∠B=∠EAF∵∠BAE+∠EAF=∠BAC=90°∴∠B+∠BAE=90°∴∠AEB=90°,即∠BED+∠AED=90°∴∠AED+∠AEF=90°,即∠DEF=90°∴EF2=DF2-DE2∵DE=kDF∴EF=DF,即∴BD=

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