【题目】如图,在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC上,且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.
(1)如图1,当DE=DF时,图1中是否存在于AB相等的线段?若存在,请找出并加以证明.若不存在说明理由.
(2)如图2,当DE=kDF(其中0<k<1)时,若∠A=90°,AF=m,求BD的长(用含k,m的式子表示).
【答案】(1)存在,AB=BE,理由见解析;(2)BD=;
【解析】试题(1)存在,AB=BE,理由如下:
延长BA、EF交于点G,连接AE,由已知可得∠EDG=∠AFG,又∠G=∠G为公共角,从而可得△GAF∽△GED,所以,又∠G=∠G,从而可得△GAE∽△GFD,所以有∠ADF=∠AEF,由∠ADF+∠DEC=180°,∠DEC+∠BED=180°,可得∠AEF=∠DEB,从而得∠BEA=∠DEF,由于DE=DF,可得∠DEF=∠DFE,从而可得∠DAE=∠BEA,继而得AB=EB;
(2)连接AE,由(1)知,∠AEF=∠DEB,∠AFE=∠BDE,从而可得△EDB∽△EFA,继而可得,∠B=∠EAF,由∠BAC=90°,从而可得∴∠AEB=90°继而可得∠DEF=90°,由DE=kDF,可得EF=DF,从而可得BD=.
试题解析:(1)存在,AB=BE,理由如下:
延长BA、EF交于点G,连接AE,∵∠BDE+∠EDG=180°,∠AFE+∠AFG=180°,∠AFE=∠BDE,∴∠EDG=∠AFG,又∵∠G=∠G,∴△GAF∽△GED,∴,又∵∠G=∠G,∴△GAE∽△GFD,∴∠ADF=∠AEF,∵∠ADF+∠DEC=180°,∠DEC+∠BED=180°,∴∠AEF=∠DEB,∴∠BEA=∠DEF,∵DE=DF,∴∠DEF=∠DFE,∵∠DAE=∠G+∠AEF,∠DFE=∠G+∠ADF,∴∠DAE=∠BEA,∴AB=EB;
(2)连接AE,由(1)知,∠AEF=∠DEB,∠AFE=∠BDE,∴△EDB∽△EFA,∴,∠B=∠EAF,∵∠BAE+∠EAF=∠BAC=90°,∴∠B+∠BAE=90°,∴∠AEB=90°,即∠BED+∠AED=90°,∴∠AED+∠AEF=90°,即∠DEF=90°,∴EF2=DF2-DE2,∵DE=kDF,∴EF=DF,∴,即,∴BD=
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【题目】已知点E在△ABC内,∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°.
(1)当α=60°时(如图1),
①判断△ABC的形状,并说明理由;
②求证:BD=AE;
(2)当α=90°时(如图2),求的值.
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【题目】(1)如图①,,射线在这个角的内部,点、分别在的边、上,且,于点,于点.求证:;
(2)如图②,点、分别在的边、上,点、都在内部的射线上,、分别是、的外角.已知,且.求证:;
(3)如图③,在中,,.点在边上,,点、在线段上,.若的面积为15,求与的面积之和.
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【题目】等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.
(1)若AE=CF;
①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;
②若AE=2,试求APAF的值;
(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.
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【题目】如图,正方形是由两个小正方形和两个小长方形组成的,根据图形解答下列问题:
(1)请用两种不同的方法表示正方形的面积,并写成一个等式;
(2)运用(1)中的等式,解决以下问题:
①已知,,求的值;
②已知,,求的值.
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 .
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